Question

No quadrilátero ABCD, temos: ∠D AB = ∠ABC = ∠BCD = 30◦ , AB = 4cm, BC = 2 √3
A) Determine o valor do ângulo ∠DCA
B) Determine o comprimento de CD
C) Encontre a área do quadrilátero ABCD

Answer 1

O valor do ângulo DCA é 60º; O comprimento de CD é 1 cm; A área do quadrilátero ABCD é 3√3/2 cm².

Primeiramente, vamos desenvolver o item b).

b) Prolongando o segmento AD, obtemos o segmento AE.

Observe que o triângulo ABE é isósceles de base AB. Além disso, o ângulo AEB mede 120º, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Utilizando a Lei dos Senos no triângulo ABE, temos que:

4/sen(120) = AE/sen(30)

4/(√3/2) = AE/(1/2)

AE = 4√3/3 cm.

Consequentemente, BE = 4√3/3 cm.

Como BC mede 2√3, então CE mede 2√3 - 4√3/3 = 2√3/3.

Agora, observe o triângulo CDE.

O ângulo CED mede 60º (suplemento de 120º). Então, podemos afirmar que o ângulo CDE é reto.

Utilizando a razão trigonométrica seno, temos que:

sen(60) = CD/CE

√3/2 = 3CD/2√3

CD = 1 cm.

a) Considere o triângulo ABC. Vamos utilizar a Lei dos Cossenos para determinar a medida do segmento AC:

AC² = 4² + (2√3)² - 2.4.2√3.cos(30)

AC² = 16 + 12 - 16√3.√3/2

AC² = 28 - 8.3

AC² = 28 - 24

AC² = 4

AC = 2 cm.

A medida do ângulo DCA é:

cos(C) = CD/AC

cos(C) = 1/2

C = 60º.

c) A área do quadrilátero ABCD é igual à subtração entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo ACD.

Portanto:

S = 4.2√3.sen(30).1/2 - 2.1.sen(60).1/2

S = 4√3.1/2 - √3/2

S = 2√3 - √3/2

S = 3√3/2 cm².