Question

No projeto de ampliação de um sistema viário, o engenheiro responsável utilizou o plano cartesiano para descrever tal projeto. As equações do anel viário e da estrada no projeto são dadas por x2 + y2 - 10x + 4y - 20 = 0 e x + y = k respectivamente. Responda os itens abaixo, (a) Para quais valores de k o anel viário e a estrada terão duas interseções? (b) Para quais valores de k o anel viário e a estrada terão apenas uma interseção? (c) Para quais valores de k o anel viário e a estrada não se intersectarão?

Answer 1

A equação do anel é $x^2+y^2-10x+4y-20=0$.

Completando quadrado, temos que:

$x^2-10x+25+y^2+4y+4=20+25+4$
$(x-5)^2+(y+2)^2=49$

ou seja, temos a equação de uma circunferência de centro no ponto (5,-2) e raio igual a 7.

Sendo assim, considere que:

- a reta terá uma interseção quando a distância do centro da circunferência à reta for igual a medida do raio;
- a reta terá duas interseções quando a distância do centro da circunferência à reta for menor que a medida do raio;
- a reta não terá interseção quando a distância do centro da circunferência à reta for maior que a medida do raio.

Lembrando que a distância de um ponto à reta é dada pela fórmula 

$d(P,r) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} }$

Sendo assim:

a) $\frac{|1.5+1.(-2)-k|}{ \sqrt{1^2+1^2} } \ \textless \ 7$
$|5-2-k|\ \textless \ 7\sqrt{2}$
$|3-k|\ \textless \ 7\sqrt{2}$

Logo, 

$3-7\sqrt{2} \ \textless \ k \ \textless \ 3+7\sqrt{2}$

b) $|3-k| = 7\sqrt{2}$

$k = 3-7\sqrt{2}$ ou $k=3+7\sqrt{2}$

c) $|3-k|\ \textgreater \ 7\sqrt{2}$

$k= (-\infty,3-7\sqrt{2})U(3+7\sqrt{2},\infty)$