Question

No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema
linear:

p + 2q + r = 3
2p + 3r = 8
p + 6q = 1

Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.

b) Resolva o sistema.

Answer 1

→ Dado o sistema linear :

${\huge \left\{\begin{array}{lll}p+2q+r=3\\2p+3r=8\\p+6q=1\end{array}\right }$

→ Vou reescrevê-lo assim :

${\huge \left\{\begin{array}{lll}1p+2q+1r=3\\2p+0q+3r=8\\1p+6q+0r=1\end{array}\right}$

a)

→  As letras p ,q e r representam a quantidade ( coeficientes ) desse sistema. De modo que o termo '' p '' da primeira equação corresponde ao elemento $a_1_1$ da matriz , o termo 3r seria o elemento $a_2_3$ e o termo 6q seria o elemento $a_3_2$

${\huge \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&3\\1&6&0\end{array}\right] }$

→ O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela Regra de Sarrus então : 

→ A Regra de Sarrus diz que para o cálculo do determinante ( det ) de uma matriz 3x3 devemos repetir os elementos da coluna 1 e 2 respectivamente depois da coluna 3 e então calcular os produto dos elementos de cada diagonal que está a direita da diagonal principal e subtrair do produto dos elementos de cada diagonal que está a direita da diagonal secundária ( não sei se deu para me entender?! )

${\Huge Det =} {\Huge \begin{vmatrix} 1 &2 & 1 &1 &2 \\ 2 & 0 & 3 &2 &0 \\ 1 & 6 &0 & 1 & 6 \end{vmatrix} }$

→ Por razões técnicas não vou mostra passo a passo o cálculo do determinante

$Det = 0 }$

b)

${\huge \left\{\begin{array}{lll}1p+2q+1r= 3 \\2p+0q+3r=8\\1p+6q+0r=1\end{array}\right}$

→ Vou multiplicar a linha 1 desse sistema por  -3 ( toda a linha ) :

${\huge \left\{\begin{array}{lll}-3p-6q-3r= -9 \\2p+0q+3r=8\\1p+6q+0r=1\end{array}\right}$

→ Agora irei somar todas as equações :

$-3p+2p+1p-6q+0q+6q-3r+3r+0r=-9+8+1$
$0 = 0$

→ Então esse sistema é um Sistema Possível Indeterminado visto que ele pode ter várias soluções .

→ De modo que as soluções desse sistema são $p = \alpha$ representaria uma solução genérica do sistema . Agora colocando as outras incógnitas em função de $\alpha$ :

$p + 6q+ 0r = 1$
$\huge \alpha + 6q = 1$
$6q = 1 - \alpha$
$q = \frac{1- \alpha }{6}$

$2p + 0q + 3r = 8$
$2\alpha +3r = 8$
$3r = 8 - 2\alpha$
$r = \frac{8-2 \alpha }{3}$

→ Portanto as soluções do sistema são  $\Big( \alpha , \frac{1- \alpha }{6} , \frac{8-2 \alpha }{3} \Big)$

→ Quando det ≠ 0 o sistema é um Sistema Possível e Determinado ( SPD ) . Como o det = 0 , então o sistema seria Sistema Impossível ( SI ) ou Sistema Possível e Indeterminado ( SPI ) .