Question

No prisma hexagonal regular. A altura mede 12cm e a área lateral 4raiz de 3 vezes a área da base. Qual o volume?

Answer 1

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Para o prisma hexagonal regular, temos

•   aresta da base:  $\mathsf{a};$

•   altura:   $\mathsf{h=12~cm;}$


•   área lateral:   $\mathsf{A_\ell=6ah;}$

(seis retêngulos de dimensões $\mathsf{a}$ e $\mathsf{h}$)


•   área da base:   $\mathsf{A_b=6\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4};}$

(a base pode ser decomposta em seis triângulos equiláteros de lado $\mathsf{a}.$)

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De acordo com o enunciado, temos que

$\mathsf{A_\ell=4\sqrt{3}\cdot A_b}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 6ah=\diagdown\!\!\!\! 4\sqrt{3}\cdot \diagup\!\!\!\! 6\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\diagdown\!\!\!\! 4}}\\\\ \mathsf{ah=\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{ah=3a^2}$

$\mathsf{3a^2-ah=0}\\\\ \mathsf{(3a-h)\cdot a=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{3a-h=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a=0}\quad\textsf{(n\~ao serve)} \end{array}\\\\ \mathsf{3a-h=0}\\\\ \mathsf{3a=h}\\\\ \mathsf{a=\dfrac{h}{3}}$


Substituindo o valor da altura, encontramos

$\mathsf{a=\dfrac{12}{3}}\\\\\\ \mathsf{a=4~cm}\quad\longleftarrow\quad\textsf{aresta da base}\quad\checkmark$

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Calculando o volume:

$\mathsf{V=A_b\cdot h}\\\\ \mathsf{V=6\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h}\\\\\\ \mathsf{V=6\cdot \dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}\cdot 12}\\\\\\ \mathsf{V=6\cdot 4\sqrt{3}\cdot 12}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{V=288\sqrt{3}~cm^3} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)