Question

NO PREPARO DE UM SUCO, UMA LANCHONETE OFERECE 15 SABORES DE FRUTAS, DOS QUAIS O FREGUES PODE ESCOLHER 3. SABENDO QUE CERTO FREGUES DESEJA ESCOLHER 3 SABORES DIFERENTES, DE QUANTAS MANEIRAS PODE SER PREPARADO ESSE SUCO?
QUAL A CONTA QUE POSSO FAZER PRA CHEGAR AO RESULTADO?

Answer 1

Vamos lá...

Nomenclaturas:

a = arranjo.
n = numero de elementos.
p = opções tomadas 3 a 3.

Aplicação:

Nesse exercício, você deve utilizar os fundamentos da analise combinatória, com isso, você terá diversas formas de responder essas questões.

Há quem prefira decorar fórmulas para resolve-las, no entanto, em todos os casos podemos utilizar o "Principio Fundamental da Contagem", ou seja, fica por sua escolha, veja:



$- \times - \times - = \\ \\ \frac{15 \times 14 \times 13}{3!} \\ \\ \frac{2730}{3 \times 2 \times 1} \\ \\ \frac{2730}{6} = 455 \: possibilidades.$
Observe que o cliente possui 3 opções para suco, por isso, foram traçados três riscos. Se fosse 4 opções seriam 4, riscos, assim sucessivamente.

O exercício deixa claro que o cliente quer 3 sucos diferentes um do outro, por isso, pegamos a quantidade de suco na primeira opção, depois tivemos a quantidade de suco menos 1 e, na segunda opção e tivemos a quantidade de suco menos 2, na terceira opção. Desta forma, é possivel notar que retirando 1 suco por opção não haverá repetições de sabores, por fim, basta multiplicar todos e dividir pelo "fotorial" da quantidade de opções, neste caso, 3.

Portanto, o cliente terá 455 opções de sucos diferentes.

Mas caso não queira utilzar o "Principio Fundamental da Contagem", você pode utilizar a fórmula de 'Combinatória', já que a ordem de beber os sucos, não importa, veja:

$an.p \: = \frac{n!}{(n \: - p) \: p!} \\ \\ a15.3 \: = \frac{15! }{(15 - 3)3!} \\ \\ a15.3 = \frac{ 15! 14!13! }{3! } \\ \\ a15.3 \: = \frac{2.730}{6} \\ \\ c15.3 \: = 455 \: possibilidades.$

Veja, na imagem, que utilizamos uma fórmula chamada de "Combinatória", onde tivemos um arranjo de 15 tomados 3 a 3, mas, que no fim resultou nas mesmas quantidades de possibilidades que no princípio fundamental da contagem.



Espero ter ajudado!