Question

No plano Oxy, a circunferência (λ) tem centro no ponto C(-5,1) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0. Escreva uma equação para a circunferência (λ).

Answer 1

Temos no plano uma reta $t,$ cuja equação na forma geral é

      $t:~~4x-3y-2=0$


Os coeficientes da equação geral de $t$ são

     $a=4,~~b=-3,~~c=-2.$


A circunferência $\lambda$ possui centro no ponto $C(-5,\,1).$ e é tangente à reta a reta $t.$ Então o raio $R$ será a distância do ponto $C$ até a reta $t.$


Aplicando a fórmula da distância do ponto à reta, devemos ter

     $R=d_{C,\,t}\\\\ R=\dfrac{|ax_{_C}+by_{_C}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\\\ R=\dfrac{|4\cdot (-5)-3\cdot (1)-2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\\\\\\ R=\dfrac{|-20-3-2|}{\sqrt{16+9}}\\\\\\ R=\dfrac{|-25|}{\sqrt{25}}\\\\\\ R=\dfrac{25}{5}\\\\\\ R=5\qquad\quad\checkmark$


A equação reduzida da circunferência procurada é

     $\lambda:~~(x-x_{_C})^2+(y-y_{_C})^2=R^2\\\\ \lambda:~~(x-(-5))^2+(y-1)^2=5^2$

     $\lambda:~~(x+5)^2+(y-1)^2=25$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)