Question

No plano de Argand-Gauss, há infinitos triângulos retângulos que têm como hipotenusa o segmento determinado pelos afixos das raízes de x2 = 3 + 4i. A área de qualquer um desses triângulos retângulos é, no máximo, igual a

Answer 1

Números Complexos no Plano de Argand-Gauss

   Obs.: leia a solução pelo navegador!

   

   Neste plano mencionado, os números complexos são representados como vetores, os quais partem da origem e seguem até um ponto do plano. Tal ponto é conhecido como afixo do número complexo.

   Esses vetores possuem uma inclinação $\theta$ com o eixo horizontal, esta - por sua vez - é denominada argumento do número complexo $z~(arg(z))$.

   Observe a representação de um número complexo qualquer $z=a+bi$ no plano de Argand-Gauss: veja a imagem.

   Conheça também o Teorema de Moivre:

$z^n=|\vec z|^n(cos(n\cdot\theta)+i\cdot sen(n\cdot\theta))$

   Pode ser demonstrado de forma algebrico-trigonométrica, basta fazer:

   $z^n=z\cdot z\cdot z\cdot(...)\cdot z$

   E, em seguida, expandir z na sua forma polar. Os passos seguintes serão propriedade distributiva e substituição das somas de arcos.

   

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   Vamos à questão

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   Começaremos escrevendo $x$ em sua forma polar:

$x^2=3+4i\xrightarrow[]{Muiltiplicando~por~1}~x^2=1\cdot(3+4i)$

$x^2=\dfrac{\rho}{\rho}\bigg(3+4i\bigg)\Rightarrow x^2=\rho\bigg(\dfrac{3}{\rho}+i\cdot \dfrac{4}{\rho}\bigg)~\therefore\\\\\\~\therefore~x^2=\rho\bigg(cos\theta+i\cdot sen\theta\bigg)$

   Utilizando o Teorema de Moivre:

$(x^2)^{\frac{1}{2}}=(\rho)^{\frac{1}{2}}\bigg[cos\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)+i\cdot sen\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)\bigg]~\therefore\\\\\\~\therefore~x=\sqrt{\rho}\bigg[cos\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)+i\cdot sen\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)\bigg]$

   Para facilitar os cálculos, façamos:

$\phi=\dfrac{\theta}{2}$

   Logo,

$x=\sqrt{\rho}(cos\phi+i\cdot sen\phi)$

    Área do triângulo:

$S_{\Delta}=\dfrac{base\times altura}{2}$

   Sendo,

$Base=3\cdot cos\phi\\\\\\Altura:4\cdot sen\phi$

   Daí,

$S_{\Delta}=\dfrac{12\cdot cos\phi\cdot sen\phi}{2}\Rightarrow S_{\Delta}=6\cdot cos\phi\cdot sen\phi$

   Sendo 6 uma constante, acabamos de escrever a área do triângulo em função do argumento do número complexo. Com isso, vamos calcular o valor de máximo dessa função.

$S_{\Delta}(\phi)=k(cos\phi\cdot sen\phi)$

   Como sabemos acerca do caráter harmônico das funções seno e cosseno e - inclusive - o produto. Podemos calcular um máximo ou um mínimo da seguinte forma: determine as raízes, com isso o ponto de máximo ou de mínimo estará presente entre as duas raízes consecutivas exatamente no ponto médio do segmento que as une no eixo X (observe o gráfico na figura 2). Dessa forma,

$cos\phi\cdot sen\phi=0\xrightarrow[]{Elevando-se~ao~quadrado}~(cos\phi\cdot sen\phi)^2=0^2$

$cos^2\phi\cdot sen^2\phi=0\Rightarrow sen^2\phi(1-sen^2\phi)=0\Rightarrow sen^2\phi-sen^4\phi=0$

$Seja,~n=sen^2\phi$

$n-n^2=0\Leftrightarrow(1-n)\cdot n=0\Leftrightarrow n=1~\wedge~n=0.$

   Consoante essas soluções, podemos dizer que:

$sen\phi=\pm 1~\wedge~sen\phi=0$

    Sendo assim,

$\phi '=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k~\wedge~\phi ''=\pi\cdot k,~\forall~k\in\mathbb{Z}$

   Os máximos e mínimos estão nos pontos médios. Vamos escolher $\phi '$ para encontrarmos um máximo:

$M\'aximos:\phi '=\dfrac{1}{2} \bigg (\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\bigg )$

$M\'aximos:\phi '=\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )$

    Esses são os pontos que dão todos os máximos consecutivos, e não os mínimos.

Prova:

   Seno:

   $sen\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )=sen\bigg (\dfrac{\pi}{4}\bigg )cos(\pi\cdot k)+sen(\pi\cdot k)cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}\bigg )~\therefore\\\\\\\threfore~sen\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )(\pm 1)$

   Cosseno:

   $cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )=cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}\bigg )cos(\pi\cdot k)-sen\bigg (\dfrac{\pi}{4}\bigg )sen(\pi\cdot k)~\therefore\\\\\\\threfore~cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )=cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}\bigg )(\pm 1)$

   Como os sinais tanto do seno, quanto do cosseno serão sempre iguais, teremos:

   $sen\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )\cdot cos\bigg (\dfrac{\pi}{4}+\pi\cdot k\bigg )>0\xrightarrow[]{Logo}~M\'aximo.$

   Por fim, a área máxima será o valor do máximo do produto entre o seno e o cosseno multiplicado pela constante.

$S_{M\'ax.}=6\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)~\therefore\\\\\\\therefore~S_{M\'ax.}=3~u.a.$

$\underline{Resposta:}~S_{M\'ax.}=3~u.a.$

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Answer 2

Resposta:

Amax = 5

Explicação passo-a-passo:

Se a expressão genérica de um número complexto é x = a + bi e sabendo que x^2 = 3 + 4i, podemos montar:

(a + bi)^2 = 3 + 4i (pois x = a + bi)

Resolvendo, temos:

a^2 + 2abi + (bi)^2 = 3 + 4i

a^2 + 2abi - b^2 = 3 + 4i (pois i^2=-1)

Separamos agora a parte real da imaginária:

a^2 - b^2 = 3

2ab = 4

Ao resolver o sistema de equações acima, encontraremos os afixos no plano de Argand-Gauss:

a = 2 e b = 1 portanto ponto A (2,1)

a’= -2 e b’ = -1 portanto ponto B (-2,-1)

Os pontos AB formam a reta que corresponde à hipotenusa do enunciado. Assim, a reta AB tem o seguinte comprimento (usando a fórmula da distância entre dois pontos):

AB = raíz quad { [2-(-2)]^2 + [1-(-1)]^2 }

AB = raíz quad ( 4^2 + 2^2 )

AB = raíz quad (20)

AB = 2 * raíz quad (5)

Existem infinitos triângulos retângulos que possuem esta hipotenusa AB. De todos ele, o de maior área será o que tiver a maior altura.

Para visualizar isso, imagine que a hipotenusa AB é o diâmetro de um círculo. Imagine que os catetos formam um ângulo de 90 graus com seu vértice tocando no círculo. A maior altura será quando estes catetos formam um triângulo isósceles de altura igual ao raio da circunferência. O raio da circunferência é a metade do diâmetro, que é 2 * raíz quad (5). Assim, altura deste triângulo é metade disso, ou simplesmente raíz quad (5).

Agora, basta calcular a área deste triângulo:

Amax = (base * altura) : 2

Amax = (2 raíz quad (5) * raíz quad (5) ) : 2

Amax = raíz quad (5) * raíz quad (5)

Amax = 5

É isso!