Question

No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C (5, 3) e tangencia a reta de equação 3 x + 4y - 12= 0. A equação dessa circunferência é:

Answer 1

A distancia de um ponto (m,n) a uma reta L: ax+by-c=0 é dada por

$d((m,n),L)= \frac{|am+bn-c|}{ \sqrt{a^2+b^2} }$

Assim no caso o raio da circunferência

$r=d((5,3),L)= \frac{|3.5+4.3-12 | }{ \sqrt{3^2+4^2} } = \frac{|15+12-12|}{ \sqrt{25} }= \frac{15}{5}=3$

A equação da circunferência é (x-5)^2+(y-3)^2=3^2

Answer 2

A equação dessa circunferência é (x - 5)² + (y - 3)² = 9

Se a circunferência tangencia uma reta qualquer, então podemos afirmar que a distância entre o centro da circunferência e a reta é igual a medida do raio.

Dado um ponto P(x₀,y₀) e uma reta ax + by + c = 0, temos que a distância entre o ponto e a reta é definida pela fórmula:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Sendo C(5,3) o centro da circunferência e a equação da reta é 3x + 4y - 12 = 0, então a distância é igual a:

$r=\frac{|3.5 + 4.3 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$r=\frac{|15+12-12|}{\sqrt{25}}$

r = |15|/5

r = 15/5

r = 3.

A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x')² + (y - y')² = r², com (x',y') o centro.

Portanto,

(x - 5)² + (y - 3)² = 9 é a equação da circunferência.

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