Question

No plano cartesiano, qual é a posição da reta 3x + 4y – 25 = 0 em relação à circunferência x² + y² = 25?​

Answer 1

Existem 3 possíveis posições relativas entre uma reta e uma circunferência: A reta é secante à circunferência (intercepta ela em 2 pontos), é tangente à circunferência (intercepta ela em 1 ponto) ou é externa à circunferência (não se interceptam).

Para determinar essa posição, basicamente devemos calcular a distância da reta ao centro da circunferência. Pela equação da circunferência, ela possui centro (0,0) e raio 5. Se essa distância é menor que o raio, então a reta é secante. Se é igual, a reta é tangente e se é maior a reta é externa.

A distância de uma reta $ax+by+c=0$ a um ponto $(x_0,y_0)$ é dada por:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores:

$d=\frac{|3\cdot0+4\cdot0-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$d=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$

$d=\frac{25}{\sqrt{25}}$

$d=\frac{25}{5}=5\;u.c$

Como a distância da reta à circunferência é igual ao seu raio, concluímos que essa reta é tangente à circunferência. Segue em anexo a representação gráfica do problema.