Question

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo y
no ponto de ordenada 3. Sabe-se que a reta que passa por
P=
(0,7) e pelo centro da circunferência C forma um ângulo
de 150° com o eixo x. É correto afirmar que a equação da
circunferência C é?​

Answer 1

A circunferência é tangente em ponto (0,3), logo a única forma disso acontecer é se o centro estiver alinhado com o ponto de ordenada 3, então já temos o Y do centro.

A questão diz que reta que passa pelo centro da circunferência passa por P(0,7) e tem inclinação de 150º, então :

$\text y - \text y_o = \text m.(\text x - \text x_o)$

$\text y - 7 = \text{Tg}(150^{\circ})}(\text x -0)$

Sabendo que :

$\displaystyle \text{Tg}(150^{\circ}) = -\text{Tg}(30^{\circ}) = \frac{-\sqrt{3}}{3}$

então :

$\displaystyle \text y - 7 = \frac{-\sqrt{3}}{3}\text x \to \boxed{\text y = \frac{-\sqrt{3}.\text x}{3} +7 }$

Se o centro da circunferência passa nessa reta, então vamos jogar o valor do y do centro, que vale 3, e achar o valor do x do centro :

$\displaystyle 3 -7 = \frac{-\sqrt{3}\text x}{3}$

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}\text x}{3}= 4$

$\boxed{\text x = 4\sqrt{3}}$

Se a circunferência é tangente ao eixo y, então a distância do x do centro ao eixo y é igual ao raio, logo :

$\boxed{\text R = 4\sqrt{3}}$

Então a equação da circunferência é :

$\huge\boxed{(\text x-4\sqrt{3})^2+(\text y-3)^2 = (4\sqrt{3})^2}$

(imagem do gráfico para melhor compreensão )