Question

No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são a (3, 4), b (1, – 2) e c (5, 1). Obtenha a medida da altura do triângulo que passa por a.

Answer 1

A altura do triângulo passando pelo vértice A vale 4,5 unidades de comprimento.

Como podemos calcular a distância entre dois pontos?

Em um plano cartesiano (2D) a distância entre dois pontos será dada por:

$d_{AB} = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$

Os três pontos estão desenhados na figura anexada. No plano cartesiano, temos:

• A = (3,4);
• B = (1,-2);
• C = (5,1).

A questão pede a altura do triângulo a partir do vértice A, logo devemos calcular a distância entre o vértice A e o lado BC do triângulo. Na figura está representada por h.

É interessante entendermos que essa altura h será exatamente entre o ponto A e o ponto médio entre B e C (representado pelo ponto D na figura).

Logo, primeiro vamos encontrar o ponto médio entre os vértices B e C:

$x_D = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\\\\y_D = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-2 + 1}{2} = -0.5\\\\D = (3, -0.5)$

Agora podemos calcular a altura h a partir da distância entre os pontos A e D:

$h = d_{AD} = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + [4 - (-0,5)]^2} \\\\h = \sqrt{0 + 4,5^2} = 4,5 u. c.$

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