Question

No plano cartesiano, os pontos (0,3) e ( 1,0) pertencem à circunferência c. Uma outra circunferência, de centro em 1 ,4 2 , é tangente a c no ponto (0,3). Então, o raio de c vale.

Answer 1

O raio da circunferência c vale √5.

Geometria Analítica - Circunferências

Como as circunferências são tangentes, seus centros e o ponto de tangência estão alinhados. Assim, o centro O da circunferência C pertence à reta r, que passa pelos pontos (0,3) e (-1/2 , 4) .

Precisamos encontrar a equação da reta r, logo, devemos encontrar o coeficiente angular Mr:

$Mr = \frac{4-3}{-\frac{1}{2} } \\\\Mr = 1 . (-2) = -2$

Para encontrar a equação da reta r iremos usar a seguinte expressão:

y - yo = Mr . (x - xo)

substituindo os valores fornecidos Mr = -2 e (0, 3), temos:

y - 3 = -2 . (x - 0)

y = -2x + 3 → Equação da Reta r.

Podemos definir então que o centro O tem pares ordenados da seguinte forma (x , -2x + 3)

Como O é equidistante dos pontos (0, 3) e (–1, 0), temos:

$\sqrt{(x-0)^{2}+(-2x+3-3)^{2} }=\sqrt{(x +1)^{2}+(-2x+3-0)^{2} }\\ \\ x^{2} +4x^{2} =x^{2} +2x+1+4x^{2} -12x+9\\\\2x -12x+10=0\\\\-10x=-10\\\\x=1$

Agora podemos encontrar as coordenadas do centro

(1 , -2.1 +3) = (1, 1)

Então, O = (1, 1). A distância entre os pontos (0, 3) e O (1, 1) é igual à medida R do raio de C. Assim:

$R = \sqrt{(1-0)^{2}+(1-3)^{2} }\\ \\R = \sqrt{1+4}\\ \\R=\sqrt{5}$

Portanto, o raio da circunferência c vale √5.

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