Question

No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1, 2/4), é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale

a) √5/8
b) √5/4
c) √5/2
d) 3√5/4
e) √5

Answer 1

Para descobrirmos quanto vale o raio de C, precisamos analisar:

1) Se a circunferência de C possui um centro C₂(a;b), e este passa pelos pontos T (0;3) e A (-1;0) do modo que tenhamos AC₂ = TC₂, a equação se apresentará:

$\sqrt{(a + 1)^2 + (b-0)^2}$ = $\sqrt{(a - 0)^2 + (b - 3)^2}$ ⇔ 
⇔ a + 3b = 4

2) o Ponto de tangência é T e ele é comum as duas circunferências, de centros C₁ (- $\frac{1}{2}$ ; 4) e C₂ (a;b), os pontos T, C₁ e C₂ apresentam um alinhamento entre si:

$\left[\begin{array}{ccc}a&b&1\\0&3&1\\-1/2&4&1\end{array}\right]$ = 0 ⇔ $\left \{ {{a=1} \atop {b=1}} \right.$ ⇒ C₂(1;1)



3) $\left \{ {{a + 3b=4} \atop {2a + b=3}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{a=1} \atop {b=1}} \right.$ ⇒ C₂(1;1) 


Desta forma, podemos inferir que o raio da circunferência é $\sqrt{5}$, conforme a equação a seguir:

r = AC₂ = $\sqrt{(1 + 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{5}$