Matemática, perguntado por BiancaCastro2913, 1 ano atrás

No plano cartesiano, observe os pontos A e B, de coordenadas (4, 0) e (0, 3). Esses pontos, juntamente com a origem O(0, 0) do plano cartesiano, determinam o triângulo OAB.

O triângulo OAB é retângulo.

Verdadeiro
Falso

B
Os catetos do triângulo OAB medem 3 e 4.

Verdadeiro
Falso

C
A distância entre os pontos A e B é 7.

Verdadeiro
Falso

D
A área do triângulo OAB é 6.

Verdadeiro
Falso

E
O ponto médio da hipotenusa do triângulo OAB tem coordenadas (2; 1,5).

Verdadeiro
Falso

Soluções para a tarefa

Respondido por Gaper

Introdução

Podemos ligar pontos distintos de um plano cartesiano e, caso existam 3 pontos a serem ligados, podemos formar um triângulo. Cada lado desse triângulo será a distância os seus respectivos vértices, ou seja, os pontos do plano cartesiano. Para achar essa distância usamos uma fórmula:

Distância entre dois pontos

Para calcular a distância entre dois pontos A e B devemos imaginar um terceiro ponto com o X de um dos pontos e o Y do outro, de modo que possa ser enxergado um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância entre os pontos A e B. (Confira a imagem em anexo para entender melhor). Sendo assim, podemos achar essa distância a partir do teorema de Pitágoras, ficando com a seguinte fórmula:

$D = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Observe que os catetos são a diferença entre as coordenadas dos pontos. (Novamente, confira a imagem em anexo para uma melhor visualização)

A ordem dos pontos na subtração não importa, pois o resultado será elevado ao quadrado, tornando-se obrigatoriamente positivo.

Sabendo os conceitos apresentados, vamos analisar e julgar cada item.

Dados do enunciado:

A(4,0);
B(0,3);
O(0, 0).

▻ "O triângulo OAB é retângulo."

Para esse triângulo ser retângulo precisamos de um ângulo reto. Observe que a coordenada Y do ponto A é 0. Isso significa que ele está situado no eixo das abscissas. Ao mesmo tempo, o ponto B possui coordenada X igual a 0, o que indica que sua posição é sobre o eixo das ordenadas.

Já o ponto O é a origem, ou seja, está sobre ambos os eixos, em seu encontro. Como os outros dois pontos estão cada um sobre um dos eixos e o ângulo formado ali é de 90°, sabemos que o triângulo é sim retângulo.

Resposta: Verdadeiro ✅

▻ "Os catetos do triângulo OAB medem 3 e 4."

Como o ângulo reto está no ponto O, os catetos serão os segmentos de reta que passarem por O: OA e OB. Para achar a medida de cada um, usamos a fórmula já apresentada.

Cateto 1 (OA)

$D = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2}\\\\D = \sqrt{(4)^2 + (0)^2}\\\\D = \sqrt{16} = 4\\$

Cateto 2 (OB)

$D = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - 0)^2}\\\\D = \sqrt{3^2} = 3\\$

Resposta: Verdadeiro ✅

▻ "A distância entre os pontos A e B é 7."

$D = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2}\\\\D = \sqrt{4^2 + (-3)^2}\\\\D = \sqrt{(16 + 9)} = \sqrt{25} = 5\\\\5 \neq 7$

Resposta: Falso ❌ → a distância é 5.

▻ " A área do triângulo OAB é 6."

A fórmula da área do triângulo é base × altura ÷ 2. No caso do triângulo retângulo, a base será um dos catetos e a altura o outro, uma vez que cada segmento é perpendicular ao outro. Sendo assim, vamos calcular:

$\dfrac{cat_1 \cdot cat_2}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$