Question

No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:
a) 47
b) 48
c) 49
d) 50
e) 51

Answer 1

Usando a noção de distância de dois pontos e o Teorema de Pitágoras ,

obtém-se:

m = 49

( ver gráfico em anexo )

Sendo o triângulo retângulo em A, então o lado BC será a hipotenusa

( que fica sempre oposta ao ângulo reto ).

De pois de calcular as dimensões doa lados, aplica-se :

Teorema de Pitágoras :

" O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos "

$a^2=b^2+c^2$

a = hipotenusa

b ; c = catetos

Cálculo da medida de cada um dos lados, através da distância entre dois

pontos, de que se conhecem as coordenadas.

Dados dois pontos genéricos:

$A~(x_{A} ~{;}~ y_{A} )\\\\B~(x_{B}~{;}~y_{B})$

Distância de A a B = $dAB$

$dAB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2} -y_{1})^2 }$

Neste caso:

$dAB=\sqrt{(m-1)^2+(4-(-2))^2 }=\sqrt{m^2-2\cdot m \cdot 1+1^2+(4+2)^2}$

$=\sqrt{m^2-2m+1+36}=\sqrt{m^2-2m+37}$

$dAC=\sqrt{(0-1)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{1^2+(6+2)^2 }=\sqrt{65}$

$dBC=\sqrt{(0-m)^2+(6-4)^2 }=\sqrt{m^2+2^2} =\sqrt{m^2+4}$

Pelo Teorema de Pitágoras    

$BC^2=AB^2+AC^2$

$(\sqrt{m^2+4})^2=(\sqrt{m^2-2m+37})^2+(\sqrt{65})^2$

$(\sqrt[2]{m^2+4})^2+(\sqrt[2]{m^2-2m+37})^2 +(\sqrt[2]{65})^2$  

Observação  → Simplificação de radicais

Um dos métodos de simplificação é quando o expoente do radicando for

igual ao índice.    

A radiciação e a exponenciação são operações inversas.

Quando usadas ao mesmo tempo é como nada se tivesse feito.

Exemplo:

$(\sqrt{65})^2=65$

$m^2+4=m^2-2m+37+65\\\\\\m^2-m^2+2m=102-4\\\\\\2m=98\\\\\\2m\div2=98\div2\\\\\\m=49$

Logo  e) 49  

Observação 2   →  Elementos de um radical

Exemplo :

$\sqrt[3]{7^2}$  

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Ver mais sobre distâncias entre dois pontos e Teorema de Pitágoras, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/38775677?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/20558062?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/20558062?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado  

------

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.