Question

No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B (m,4) e C (0,6) é retangulo em A . O valor de m é igual a :

Answer 1

dBC²=dAC²+dAB²

dBC²=(m-0)²+(4-6)²=m²+4

dAC²=(1-0)²+(-2-6)²=65

dAB²=(1-m)²+(-2-4)²=1-2m+m²+36=m²-2m+37

m²+4=65+m²-2m+37

0=61-2m+37

-2m+98=0

m=49

Answer 2

Resposta: $m=49$.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, lembre-se que a distância entre dois pontos quaisquer $P'=(x',y')$ $(x',\ y'\ \in\ \mathbb{R})$ e $P''=(x'',y'')$ $(x'',\ y''\ \in\ \mathbb{R})$ do plano cartesiano é dada por:

$d_{\overline{P'P''}}=\sqrt{(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{P'P''}}\right)^{2}=(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}\ \ \ \ \ \ (i)$

O exercício nos informa que o triângulo $\Delta\ ABC$, de vértices

$A=(1,-2)$, $B=(m,4)$ $(m\ \in\ \mathbb{R})$ e $C=(0,6)$ é retângulo em $A$ (o ângulo de $90\textdegree$ localiza-se neste vértice), logo sua hipotenusa será o segmento de reta $\overline{BC}$, e os dois catetos serão $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

$\left(\overline{BC}\right)^{2}=\left(\overline{AB}\right)^{2}+\left(\overline{AC}\right)^{2}\ \ \ \ \ \ (ii)$

Mas sabemos que trata-se de um problema de Geometria Analítica, então $(ii)$ deverá ser escrita com o auxílio de $(i)$. Portanto a equação $(ii)$ transforma-se em:

$\left(d_{\overline{BC}}\right)^{2}=\left(d_{\overline{AB}}\right)^{2}+\left(d_{\overline{AC}}\right)^{2}\ \ \ \ \ \ (iii)$

Também de $(i)$ obtém-se as seguintes igualdades:

$\left(d_{\overline{BC}}\right)^{2}=(0-m)^{2}+(6-4)^{2}=m^{2}+4$

$\left(d_{\overline{AB}}\right)^{2}=(m-1)^{2}+(4-(-2))^{2}=m^{2}-2m+37$

$\left(d_{\overline{AC}}\right)^{2}=(0-1)^{2}+(6-(-2))^{2}=65$

Substituindo as três igualdades acima em $(iii)$, ficaremos com a seguinte equação na incógnita $m$:

$m^{2}+4=(m^{2}-2m+37)+(65)\ \ \ \Leftrightarrow$

$2m=65+37-4\ \ \ \Leftrightarrow$

$2m=98\ \ \ \Leftrightarrow$

$m=\cfrac{98}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$m=49$.

Por fim, o valor de $m$ é $49$.

Um grande abraço!