Question

No plano cartesiano, o ponto P que pertence à
reta de equação y = x e é equidistante dos pontos A(-1,3) e
B(5,7) tem abscissa igual a:
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,4
d) 3,5
e) 3,2

Answer 1

Vamos começar notando que todo ponto pertencente a reta y=x possui suas coordenadas de mesmo valor, ou seja, a coordenada "x" (abscissa) sempre será igual a coordenada "y" (ordenada).

Nessa reta então temos, por exemplo, os pontos (-1,-1), (0,0), (1,1).

O exercício nos pede para calcular então a abscissa de um ponto P que está a uma mesma distancia (equidistante) dos pontos A e B, logo podemos montar uma equação para determinar o que é solicitado:

$\boxed{Distancia_{\,P,A}~=~Distancia_{\,P,B}}$

A distancia entre dois pontos é dado por:

$\boxed{Distancia_{\,P_1,P_2}~=~\sqrt{\left(x_{_{P_1}}-x_{_{P_2}}\right)^2~+~\left(y_{_{P_1}}-y_{_{P_2}}\right)^2}}$

Assim, a equação introduzida anteriormente fica:

$\sqrt{\left(x_{_P}~-~x_{_A}\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~y_{_A}\right)^2}~=~\sqrt{\left(x_{_P}~-~x_{_B}\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~y_{_B}\right)^2}$

Substituindo os valores das coordenadas dos pontos:

$\sqrt{\left(x_{_P}~-~(-1)\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~3\right)^2}~=~\sqrt{\left(x_{_P}~-~5\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~7\right)^2}\\\\\\\\\sqrt{\left(x_{_P}~+~1\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~3\right)^2}~=~\sqrt{\left(x_{_P}~-~5\right)^2~+~\left(y_{_P}~-~7\right)^2}\\\\\\Sabemos~que~x_{_P}=y_{_P},~logo:\\\\\\\sqrt{\left(x_{_P}~+~1\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~3\right)^2}~=~\sqrt{\left(x_{_P}~-~5\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~7\right)^2}\\\\\\Elevando~os~dois~lados~da~equacao~ao~quadrado:$

$\sqrt{\left(x_{_P}~+~1\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~3\right)^2}^{~2}~=~\sqrt{\left(x_{_P}~-~5\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~7\right)^2}^{~2}\\\\\\\\\left(x_{_P}~+~1\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~3\right)^2~=~\left(x_{_P}~-~5\right)^2~+~\left(x_{_P}~-~7\right)^2\\\\\\Desenvolvendo~os~binomios:\\\\\\x_{_P}^2+2x_{_P}+1~+~x_{_P}^2-6x_{_P}+9~=~x_{_P}^2-10x_{_P}+25~+~x_{_P}^2-14x_{_P}+49\\\\\\x_{_P}^2+x_{_P}^2 -x_{_P}^2-x_{_P}^2~+~2x_{_P}-6x_{_P}+10x_{_P}+14x_{_P}~=~25+49-1-9\\\\\\20x_{_P}~=~64$

$x_{_P}~=~\dfrac{64}{20}\\\\\\\boxed{x_{_P}~=~3,2}~~\Rightarrow~Letra~E\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$