Question

No plano cartesiano a seguir, estão representados um triângulo ABC e o gráfico da função f(x) = x^2+4, com o x e R. Sabe-se que:



•O ponto 0 e a origem do sistema de coordenadas

• Os pontos A e C pertencem ao gráfico da função e C tem abscissa igual a 2;

•o ponto B pertence ao eixo das ordenadas;

•O triângulo ABC é retângulo em B.

Determine a área e o perímetro do triângulo ABC.

Answer 1

A área e o perímetro do triângulo ABC são, respectivamente, 4 e 6 + 2√5.

Vamos determinar as coordenadas dos pontos A, B e C.

Da figura, temos que o ponto A está sobre o eixo das ordenadas.

Isso quer dizer que o ponto A é da forma A = (0,y).

Calculando o valor de f(0), obtemos:

f(0) = 0² + 4

f(0) = 4.

Logo, o ponto A é A = (0,4).

O ponto C possui abscissa igual a 2. Então, C é da forma C = (2,y).

Calculando o valor de f(2), obtemos:

f(2) = 2² + 4

f(2) = 4 + 4

f(2) = 8.

Logo, o ponto C é C = (2,8).

O ponto B está sobre o eixo das ordenadas. Além disso, ele possui a mesma ordenada do ponto C.

Logo, o ponto B é B = (0,8).

Vamos calcular as medidas dos lados do triângulo ABC.

Distância entre A e B

d² = (0 - 0)² + (8 - 4)²

d² = 4²

d = 4.

Distância entre B e C

d² = (2 - 0)² + (8 - 8)²

d² = 2²

d = 2.

Distância entre A e C

d² = (2 - 0)² + (8 - 4)²

d² = 2² + 4²

d² = 4 + 16

d² = 20

d = 2√5.

Portanto, o perímetro do triângulo ABC é igual a:

2P = 4 + 2 + 2√5

2P = 6 + 2√5.

Já a área do triângulo ABC é igual a:

S = 4.2/2

S = 4.