Question

no plano afim r², se considera o conjunto de vetores v= (x,y) tais que x+y=0. mostrar que se v1= (x1,y1) é um vetor nao nulo desse conjunto, todo vetor do conjunto é paralelo a v1

Answer 1

Como v₁=(x₁,y₁) é um vetor desse conjunto:

x₁+y₁=0 => y₁=-x₁

Logo, o vetor v₁ pode ser escrito como: v₁=(x₁,-x₁)=x₁(1,-1).

Agora, vamos tomar um vetor qualquer v=(x,y) que pertence ao conjunto dado. Então: x+y=0 => y=-x. Assim, podemos escrever v como v=(x,-x)=x(1,-1).

Para que um vetor p seja paralelo a um vetor q, é necessário que p seja um múltiplo de q, isto é, p=tq, onde t é um escalar real. Como queremos ver se v é paralelo a v₁:

$v=x(1,-1)\\\\ v=x\cdot\dfrac{x_1}{x_1}(1,-1)\\\\ v=\dfrac{x}{x_1}\cdot \underbrace{x_1(1,-1)}_{v_1}\\\\ v=\dfrac{x}{x_1}v_1$

Dessa forma, v é igual a um múltiplo de v₁, basta tomarmos t=x/x₁. Portanto, todo vetor do conjunto é paralelo ao vetor v₁. $~~\blacksquare$