Question

No pentágono, os segmentos AF, CF e DF são, respectivamente, bissetrizes dos ângulos EÂB, B^CD e C^DE. Quais as medidas dos ângulos B^CD, C^FD e DÊA?
Segue um anexo.

Answer 1

Primeiramente, calculemos a medida do ângulo BCD.
Como CF é bissetriz do ângulo BCD, ela divide esse ângulo em outros dois de mesma medida. Logo:
3y - 12 = 2y + 8
3y - 2y = 8 + 12
y = 20

Substituindo o valor de y, calculemos esse ângulo.
BCD = [3(20) - 12]  +  [2(20) + 8]
BCD = 60 - 12 + 40 + 8
BCD = 48 + 48
BCD = 96°  [resposta]

Antes de calcularmos a medida do ângulo CFD, temos que calcular a medida do ângulo CDE.
Como DF é a bissetriz de CDE, ela divide esse ângulo em outros dois de mesma medida. Logo:
4z - 14 = 3z + 1
4z - 3z = 1 + 14
z = 15

Substituindo z, calculemos esse ângulo.
CDE = [4(15) - 14] + [3(15) + 1]
CDE = 60 - 14 + 45 + 1
CDE = 46 + 46
CDE = 92°  

Assim, temos um triângulo CFD, em que um ângulo mede 48° e o outro mede 46°. Então:
CFD + 48 + 46 = 180
CFD + 94 = 180
CFD = 180 - 94
CFD = 86°  [resposta]

Antes de calcularmos o ângulo DEA, temos que calcular o ângulo EAB.
De novo, temos uma bissetriz. Logo:
2x - 27 = x + 8
2x - x = 8 + 27
x = 35

Substituindo x, calculemos o ângulo EAB.
EAB = [2(35) - 27] + [35 + 8]
EAB = 70 - 27 + 43
EAB = 86°

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540°. Logo:
EAB + ABC + BCD + CDE + DEA = 540
  86  +  136  +  96   +   92  +  DEA = 540
410 + DEA = 540
DEA = 540 - 410
DEA = 130°  [resposta]