Question

No pá abaixo determine o 100° termo 2,5,8,11....

Answer 1

r=3

an= a1 + (n-1) . r

an= 2 +(100-1) . 3

an= 2 + 99 . 3

an= 2+ 297

an= 299

O centésimo termo da sequência é 299

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (2, 5, 8, 11, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2

b)centésimo termo (a₁₀₀): ?

c)número de termos (n): 100 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do sexagésimo primeiro termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ =>

r = 5 - 2 =>

r = 3

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1) . (3) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (99) . (3) ⇒

a₁₀₀ = 2 + 297 ⇒

a₁₀₀ = 299

Resposta: O 100º termo da PA(2, 5, 8, 11, ...) é 299.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 299 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

299 = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒

299 = a₁ + (99) . (3) ⇒

299 = a₁ + 297 ⇒          (Passa-se o termo +297 ao primeiro membro (lado) da equação, alterando o seu sinal.)

299 - 297 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇒

a₁ = 2                             (Provado que a₁₀₀ = 299.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!