Question

No número $6a78b$, $a$ denota o algarismo da unidade de milhar e $b$ denota o algarismo da unidade.

Se $6a78b$ for divisível por $45$, qual o valor de $a+b$ ?

Answer 1

O número é divisível por $45=5\times9$, portanto é divisível por $5$ e $9$.

$\rhd$ Todo número divisível por $5$ termina em $0$ ou $5$. Assim, $b=0$ ou $b=5$.

$\rhd$ Todo número divisível por $9$ tem como a soma dos seus algarismos um número que é múltiplo de $9$.

Logo, $6+a+7+8+b=21+a+b$ é múltiplo de $9$.

Como $a\le9$, e $b=0$ ou $b=5$, temos $21\le21+a+b\le21+9+5=35$.

Mas, o único múltiplo de $9$ entre $21$ e $35$ é $27$. Logo, $21+a+b=27$.

Concluímos que $a+b=6$ e o número procurado é $61~785$ ou $66~780$.

Answer 2

6 + a + 7 + 8 + b = 21 + a + b
a < 9 e b = 0 ou b = 5,
21 < 21+a+b < 21+9+5 = 35
21+a+b = 27
a + b = 27-21
a + b = 6