Question

No mercado ver-o-peso, três vendedores combinaram vender três espécies de peixe,cada uma delas pelo mesmo preço e fazer uma competição para ver quem vendia mais peixe pelo preço combinado,durante uma hora. Sabendo que :  O vendedor A vendeu 7 kg do peixe x,5kg d peixe y,4 kg do peixe z e arrecadou R$65,00.  O vendedor B vendeu 8 kg do peixe x,7 kg do peixe y,6 kg do peixe z e arrecadou R$ 88,00.  O vendedor C vendeu 5kg do peixe x,4 kg do peixe y,3 kg do peixe z e arrecadou R$ 49,00.  Quais os preços, por kg, dos peixes x, y e z, respectivamente?

Answer 1

O enunciado descreve um sistema linear de 3 equações e 3 variáveis que pode ser escrito como:
A: 7x + 5y + 4z = 65
B: 8x + 7y + 6z = 88
C: 5x + 4y + 3z = 49


Podemos resolver utilizando a regra de Cramer.
A matriz A será dada pelos coeficientes do sistema:
$A= \left[\begin{array}{ccc}7&5&4\\8&7&6\\5&4&3\end{array}\right]$


As matrizes das variáveis será dada substituindo a coluna da variável pela matriz dos valores independentes:
$X = \left[\begin{array}{ccc}65&5&4\\88&7&6\\49&4&3\end{array}\right] \\ \\ \\ Y = \left[\begin{array}{ccc}7&65&4\\8&88&6\\5&49&3\end{array}\right] \\ \\ \\ Z = \left[\begin{array}{ccc}7&5&65\\8&7&88\\5&4&49\end{array}\right]$


Calculando os determinantes de cada matriz pela regra de Sarrus, temos:
det(A) = -3
det(X) = -9
det(Y) = -12
det(Z) = -18


Os valores de x, y e z serão:
$x = \dfrac{det(X)}{det(A)} = \dfrac{-9}{-3} = 3 \\ \\ y = \dfrac{det(Y)}{det(A)} = \dfrac{-12}{-3} = 4 \\ \\ z = \dfrac{det(Z)}{det(A)} = \dfrac{-18}{-3} = 6$