Question

No intervalo R, a equação {/tex}2^{2+2x} - 9.2^{x}+2 =0[/tex}
admite
a) uma única raiz
b) duas raízes positivas, uma inteira e outra não
inteira.
c) duas raízes inteira de sinais contrários
d) duas raízes inteira negativas
e) quatro raízes inteira

Answer 1

$2^{2 + 2x} - 9.2^x + 2 = 0$

Sabemos que: $x^{n + m} = x^n . x^m$

Então,

$2^{2 + 2x}=2^2.2^{2x} = 4.2^{2x}$

$4.2^{2x} - 9.2^x + 2 = 0$

Agora observemos que:

$2^{2x}=(2^2)^x ou (2^x)^2$

Sendo assim, vamos chamar $2^x$ de y.

$4.(2^x)^2 - 9.2^x + 2 = 0$

$4.y^2 - 9.y + 2 = 0$

Agora temos uma equação de segundo grau.

4y² - 9y + 2 = 0

Δ = b² - 4.a.c  

Δ = -9² - 4 . 4 . 2  

Δ = 81 - 4. 4 . 2  

Δ = 49

Há 2 raízes reais.

y = (-b +- √Δ)/2a

y' = (--9 + √49)/2.4    

y'' = (--9 - √49)/2.4

y' = 16 / 8    

y'' = 2 / 8

y' = 2    

y'' = 1/4

Sabemos que $2^x=y$

Então,

$2^x = 2$ => $x = 1$

e

$2^x = \frac{1}{4}$ => $x = -2$

Duas raízes inteiras de sinais contrários.