Question

No intervalo [0,π] a equação sen^4 (x) + cos^4 (x) = 5/8 possui soma dos inversos das raizes igual a:
a) 15/2π b) 117/10π a) 15/π a) 2π a) 117/5π

Eu consegui fazer e no final encontrei sen2x = √3/2 e sen2x = -√3/2. No intervalo de [0,π] usei apenas a equação sen2x = √3/2 o que gera 2x=π/3 e 2x = 2π/3, acarretando x=π/6 e x = π/3

Mas 6/π + 3/π gera 9/π e essa resposta não tem em nenhuma das alternativas. Alguém pode ajudar por favor? Obrigada.

Answer 1

Tá OK Rebeca... Mas e o 2° quadrante? Tu sabe que π = 180°, né... Os valores que você deduziu são $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ e $\frac{1}{2}$... O que nos faz deduzir que os ângulos são: 30° e 60°... Mas e seus suplementos? Lembre-se que no 2° quadrante (ou seja, entre 90° e 180°, ou, melhor dizendo, entre π/2 e π) também temos os mesmos valores. Então você tem que fazer essa soma aqui:

sen 30° + sen 60° + sen 120° + sen 150°
$\frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{3} + \frac{2 \pi }{3} + \frac{5 \pi }{6}$

Invertendo:

$\frac{6}{ \pi } + \frac{3}{ \pi } + \frac{3}{2 \pi } + \frac{6}{5 \pi }$

Somando, dá $\frac{117}{10 \pi }$, então a alternativa é a B

Espero ter ajudado

Answer 2

Temos o seguinte problema para resolver :

$\fbox{\displaystyle Sen^4(x) + Cos^4(x) = \frac{5}{8} }$

Intervalo :   $\displaystyle x \in [0, \pi ]$

Vamos começar usando a relação fundamental da trigonometria. Elevando ela ao quadrado. assim :

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 \to [Sen^2(x) + Cos^2(x)]^2 = 1^2 }$

abrindo o produto notável :

$\fbox{\displaystyle [Sen^2(x) + Cos^2(x)]^2 = 1^2 \to Sen^4(x) + Cos^4(x) + 2.Sen^2(x).Cos^2(x) = 1 }$

então

$\fbox{\displaystyle \frac{5}{8}+ 2.Sen^2(x).Cos^2(x) = 1 }$

Sabendo que :

$\displaystyle Sen(x).Cos(x) = \frac{Sen(2x)}{2}$

podemos elevar ao quadrado, ficando :

$\displaystyle Sen^2(x).Cos^2(x) = \frac{Sen^2(2x)}{4}$

Agora vamos substituir na nossa equação :

$\displaystyle \frac{5}{8}+ 2.Sen^2(x).Cos^2(x) = 1 \to \frac{5}{8} + \frac{Sen^2(2x)}{4} = 1$

tirando o mmc e isolando o Sen²(2x)

$\displaystyle 5 + 4Sen^2(2x) = 8 \to Sen^2(2x) = \frac{3}{4}$

tirando a raiz quadrada , temos :

$\displaystyle Sen(2x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

agora vamos analisar quais ângulos cujo o seno da aquele valor.

OBS: A restrição é para o X e não para o 2X.

1 º quadrante

$\displaystyle 2x = \frac{\pi}{3}$

2º quadrante

$\displaystyle 2x = \pi - \frac{\pi}{3} \to 2x = \frac{2\pi}{3}$

agora temos que testar o restante, já que o angulo estudado é 2x.

Vamos fazer os ângulos encontrados + $k.\pi$, substituindo o k por : 0,1,2,3,.. e no final analisar a restrição.  

1ºângulo

$\displaystyle \frac{\pi}{3} + 0.\pi \ \ ; \frac{\pi}{3} + 1.\pi \ \ ; \frac{\pi}{3} + 2.\pi \ \ ; \frac{\pi}{3} + 3.\pi \ \ ; \frac{\pi}{3} + 4.\pi \ ; ..$

resultado :

$\displaystyle \frac{\pi}{3} \ ; \frac{4\pi}{3} \ ; \frac{7\pi}{3} \ ; ...$

2º ângulo

$\displaystyle \frac{2\pi}{3} + 0.\pi \ ; \frac{2\pi}{3} + 1.\pi \ ; \frac{2\pi}{3} + 2.\pi \ ; ...$

resultado :

$\displaystyle \frac{2\pi}{3} ; \frac{5\pi}{3} ; ...$

Portanto nossos possíveis ângulos para 2x são :

$\displaystyle 2x = \frac{\pi}{3} , \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3}, ..$

ou seja :

$\displaystyle x = \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{6}, \frac{4\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}, ..$

a restrição é de [0,$\pi$] e note que o $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$ já passou da restrição.

Então as soluções, são :

$\displaystyle x = \{ \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{6}, \frac{4\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \}$

A questão pede a soma dos inversos das raízes, ou seja :

$\displaystyle \frac{6}{\pi} + \frac{6}{2\pi} + \frac{6}{4\pi} + \frac{6}{5\pi} = \frac{117}{10\pi}$

comentário :

Lembre-se de que a restrição é para o ângulo x e não para o 2x,  e assim vai somando $k.\pi$ e analisando a restrição. Questão bonita kk