Question

No instante t0 = 0 s, um elétron é projetado sob um ângulo de 30° em
relação ao eixo x, com velocidade V0 = 4,0x105m/s, conforme o esquema a seguir.

Considerando que o elétron (carga elétrica, em valor absoluto, igual a e =
1,6x10–19 C e massa m = 9,1x10–31 kg se move num campo elétrico constante, cuja intensidade é E = 100 N/C, determine o intervalo de tempo que o elétron levará para cruzar novamente o eixo x. Dê a resposta em ns.

Answer 1

Veja a polaridade do campo elétrico $\mathsf{\vec{E}}$. Concluímos que lado norte é negativo e o sul é positivo.

Como estamos falando de um elétron sendo lançado, então ele será puxado / empurrado para baixo pela força elétrica, atraído pela carga positiva geradora / repelido pela carga negativa geradora. Como ainda tem o peso que atua para baixo, então o elétron tem duas forças aplicadas para baixo nele e só essas forças são aplicadas nele. Concluímos que:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{F_r}}_{for\c{c}a \ resultante} \ = \ \underbrace{\mathsf{P}}_{peso} \ + \ \underbrace{\mathsf{F_{el}}}_{for\c{c}a \ el\'etrica} \ \rightarrow}$

$\mathsf{m \ \cdot \ a \ = \ m \ \cdot \ g \ + \ E \ \cdot \ |q| \ \rightarrow}$

Sendo $\mathsf{m \ = \ 9,1 \ \cdot \ 10^{-31} \ Kg}$ a amassa do elétron, $\mathsf{e \ = \ -1,6 \ \cdot \ 10^{-19} \ C}$ a sua carga, $\mathsf{g \ = \ 10 \ \ \dfrac{m}{s^2}}$ o campo gravitacional e $\mathsf{E \ = \ 100 \ \dfrac{N}{C}}$ o campo elétrico:

$\mathsf{9,1 \ \cdot \ 10^{-31} \ \cdot \ a \ = \ 9,1 \ \cdot \ 10^{-31} \ \cdot \ 10 \ + \ 1,6 \ \cdot \ 10^{-19} \ \cdot \ 100 \ \rightarrow}$

Veja que a força peso é quase que insignificante perto da força coulombiana, então podemos aproximar:

$\mathsf{a \ = \ \dfrac{1,6 \ \cdot \ 10^{-17}}{9,1 \ \cdot \ 10^{-31}} \ \rightarrow}$

$\boxed{\mathsf{a \ \approx \ 1,7 \ \cdot \ 10^{13} \ \dfrac{m}{s^2 }}}$

Veja que, nesse lançamento oblíquo, o elétron vem e volta para a mesma altura (o que foi proposto no enunciado), que é em $\mathsf{y \ = \ 0}$.

Logo, é um lançamento oblíquo simétrico, de forma que quando o elétron cruza o eixo $\mathsf{x}$ novamente, ele terá a mesma $\mathsf{v_0\ y}$, na mesma direção só que em sentido, ou seja, sinal, oposto.

Sendo então que $\mathsf{v_0 \ y \ = \ \underbrace{\mathsf{4 \ \cdot \ 10^5 \ \dfrac{m}{s}}}_{v_0} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}_{sen(30^\circ)} \ \rightarrow}$

$\boxed{\mathsf{v_0 \ y \ = \ 2 \ \cdot \ 10^5 \ \dfrac{m}{s}}}$

Vamos dizer que o referencial é positivo para a aceleração, logo, a velocidade inicial vertical do elétron (quando ele é lançado) é, na verdade, $\mathsf{- \ 2 \ \cdot \ 10^5 \ \dfrac{m}{s}}$. Então, ao cruzar o eixo das abcissas de novo, o elétron possuirá $\mathsf{2 \ \cdot \ 10^5 \ \dfrac{m}{s}}$ verticalmente, sentido contrário e a favor da acelração.

Portanto...

$\mathsf{2 \ \cdot \ 10^5 \ = \ - \ 2 \ \cdot \ 10^5 \ + \ 1,7 \ \cdot \ 10^{13} \ \cdot \ t \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{4 \ \cdot \ 10^5}{1,7 \ \cdot \ 10^{13}} \ = \ t \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{t \ = \ 23 \ \cdot \ 10^{-9} \ s \ ou \ 23 \ ns}}}$