Question

No instante t= 0 uma partícula parte com velocidade angular de 20 rad/s em trajetória circular de raio 80 cm e sofre uma desaceleração de módulo constante de 2 rad/s² até parar. Determinar:
a) o número de voltas que ela realiza;
b) o tempo de movimento;
c) o módulo da aceleração escalar linear

Answer 1

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•   velocidade angular inicial:   $\mathsf{\omega_0=20~rad/s;}$

•   velocidade angular final:   $\mathsf{\omega=0}$


•   raio da trajetória circular:   $\mathsf{R=80~cm=0,\!80~m;}$

•   aceleração angular:   $\mathsf{\alpha=-2~rad/s^2;}$

(a aceleração angular é negativa, pois a velocidade angular deve diminuir até se anular)


a) Antes de calcular o número de voltas, vamos achar qual é o deslocamento angular $\mathsf{\Delta \theta}$ desta partícula:

Equação de Torricelli:

$\mathsf{\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\cdot \Delta \theta}\\\\ \mathsf{\omega^2-\omega_0^2=2\alpha\cdot \Delta \theta}\\\\ \mathsf{\Delta \theta=\dfrac{\omega^2-\omega_0^2}{2\alpha}}\\\\\\ \mathsf{\Delta \theta=\dfrac{0^2-20^2}{2\cdot (-2)}}$

$\mathsf{\Delta \theta=\dfrac{-400}{-4}}\\\\\\ \mathsf{\Delta \theta=100~rad}\qquad\quad\checkmark$


O número de voltas $\mathsf{n}$ é dado por

$\mathsf{n=\dfrac{\Delta \theta}{2\pi}}\\\\\\ \mathsf{n=\dfrac{100}{2\pi}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{n\approx 15,\!9~voltas} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

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b) Calcularemos o tempo do movimento usando a equação horária da posição angular:

$\mathsf{\theta=\theta_0+\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\,\alpha t^2}\\\\\\ \mathsf{\theta-\theta_0=\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\,\alpha t^2}\\\\\\ \mathsf{\Delta \theta=\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\,\alpha t^2}$


Substituindo os valores,

$\mathsf{100=20t+\dfrac{1}{2}\cdot (-2)\cdot t^2}\\\\\\ \mathsf{100=20t-t^2}\\\\ \mathsf{t^2-20t+100=0}\\\\ \mathsf{t^2-10t-10t+100=0}$

$\mathsf{t(t-10)-10(t-10)=0}\\\\ \mathsf{(t-10)(t-10)=0}\\\\ \mathsf{(t-10)^2=0}\\\\ \mathsf{t-10=0}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t=10~s} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

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c) O módulo da aceleração escalar linear é dado por

$\mathsf{a=|\alpha|\cdot R}\\\\ \mathsf{a=2\cdot 0,\!80}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a=1,\!60~m/s^2} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)