Question

No instante adotado como origem dos tempos, o espaço de uma partícula vale -14 m e sua velocidade escalar é igual a 5 m/s. Sua aceleração escalar é constante e igual a 2 m/s^2 para qualquer instante t. Determine:

a) o instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;

b) a velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.

Answer 1

FUNÇÃO da posicao.

S = -14 + 5t + t²

Origem é S = 0

t² + 5t - 14 = 0

∆= 25 + 56

∆= 81

t' = -5 + 9/2

t' = 2 segundos.

b) Velocidade na origem.

V = Vo + at

V = 5 +2*2

V = 9 m/s

at.te Colosso

Answer 2

O instante que passa pela dos espaços foi de t = 2 s  e a velocidade escalar  que passa pelo origem foi de  V = 9 m/s.

O movimento uniformemente variado a velocidade em geral não permanece constante, variando, portanto, no decorrer do tempo. Aceleração permanece constante e diferente de zero.

Funções horárias:

Velocidade em função do tempo [ $\boldsymbol{ \textstyle \sf V = f(t) }$ ]:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf V = V_0 + a \cdot t }}$

Sendo que:

$\textstyle \sf V \to$ velocidade escalar do móvel no instante t [ m/s ];

$\textstyle \sf V_0 \to$ velocidade inicial no instante $\boldsymbol{ \textstyle \sf t_0 }$ [ m/s ];

$\textstyle \sf a \to$ aceleração escalar média [ m/s² ];

$\textstyle \sf t \to$  instante do móvel [ s ].

Posição em função do tempo [ $\boldsymbol{ \textstyle \sf S = f(t) }$ ]:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = S_0 + V_0 \cdot t +\dfrac{a \cdot t^2}{2} }}$

Sendo que:

$\textstyle \sf S \to$ posição do móvel no instante t [ m ];

$\textstyle \sf S_0 \to$ posição do móvel no instante $\boldsymbol{ \textstyle \sf t_0 }$ [ m ];

$\textstyle \sf V_0 \to$ velocidade do móvel no instante $\boldsymbol{ \textstyle \sf t_0 }$ [ m/s ];

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf S_0 = -\: 14 \: m \\ \sf V_0 = 5\: m/s \\ \sf a = 2 \: m/s^2 \end{cases}$

Determine:

a) o instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;

Aplicando os dados do enunciado na posição em função do tempo, temos:

$\displaystyle \sf S = S_0 + V_0 \cdot t +\dfrac{a \cdot t^2}{2}$

$\displaystyle \sf S = -\: 14 + 5 \cdot t +\dfrac{2 \cdot t^2}{2}$

$\displaystyle \sf S = -\: 14 + 5t +t^2$

$\displaystyle \sf 0 = -\: 14 + 5t +t^2$

$\displaystyle \sf t^2 - 5t -\:14 = 0$

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = 5^2 -\:4 \cdot 1 \cdot (-14)$

$\displaystyle \sf \Delta = 25+56$

$\displaystyle \sf \Delta = 81$

$\displaystyle \sf t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,5 \pm \sqrt{ 81 } }{2 \cdot 1} = \dfrac{-\:5 \pm 9 }{2}$

$\displaystyle \sf t \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf \dfrac{-\,5 + 9}{2} = \dfrac{4}{2} = \: 2 \\\\ \sf t_2 = &\sf \dfrac{-\:3 - 9}{2} = \dfrac{-\: 12}{2} = -6 \quad \gets {\text{\sf n{\~a}o serve }} \end{cases}$

Logo o instante que passa pelo origem é de t = 2 s.

b) a velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.

Basta substituir o instante t = 2 s na velocidade em função do tempo.

$\displaystyle \sf V = V_0 + a \cdot t$

$\displaystyle \sf V = 5 + 2 \cdot 2$

$\displaystyle \sf V = 5 + 4$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf V = 9\: m/s }}}$