Question

No fim de quanto tempo os capitais de 6.000,00 a 20% a.a. capitalizados trimestralmente, e 18.000,00 a 10% a.a. capitalizados semestralmente, produzirão juros iguais

Answer 1

Este exercício não é nada fácil de resolver (ou pelo menos de explicar)  ..mas vou tentar fazê-lo  

=> Temos 2 Capitais iniciais: C₁ = 6000 ..e C₂ = 18000

=> Temos 2 taxas de aplicação:

i₁ = 0,2 a.a. (Nominal) ..que será 0,05 a.t. (Efetiva)
i₂ = 0,1 a.a. (Nominal) ..que será 0,05 a.s. (Efetiva)

=> Pretendemos saber em que Prazo "n" os juros produzidos por uma aplicação vão ser iguais aos juros produzidos pela outra aplicação

...por outras palavras pretendemos saber a seguinte igualdade:

J₁ = J₂

..como J = C[(1 + i)ⁿ - 1] ..então

C₁[(1 + i₁)ⁿ - 1] = C₂[(1 + i₂)ⁿ - 1]

...mas note que queremos um prazo comum ...mas temos taxas efetivas expressas em prazos diferentes: i₁ = trimestral e i₂ = semestral

logo ...temos de trabalhar com taxas expressas no mesmo período de capitalização! ...temos várias opções para isso mas, neste caso, vamos converter a taxa trimestral em taxa semestral

Assim i₁ a.t. = 0,05 => i₁ a.s. = [(1,05)² - 1] = 0,1025

...agora podemos retomar a nossa fórmula acima ..e substituir

C₁[(1 + i₁)ⁿ - 1] = C₂[(1 + i₂)ⁿ - 1]

6000[(1 + 0,1025)ⁿ - 1] = 18000[(1 + 0,05)ⁿ - 1]

6000[(1,1025)ⁿ - 1] = 18000[(1,05)ⁿ - 1]

..agora repare que [(1,1025)ⁿ - 1] = [(1,05)²ⁿ - 1] ...donde resultará:

6000[(1,05)²ⁿ - 1] = 18000[(1,05)ⁿ - 1]

6000(1,05)²ⁿ - 6000 = 18000(1,05)ⁿ - 18000

6000(1,05)²ⁿ = 18000(1,05)ⁿ - 18000 + 6000

6000(1,05)²ⁿ = 18000(1,05)ⁿ - 12000

 6000(1,05)²ⁿ - 18000(1,05)ⁿ + 12000 = 0

...simplificando MDC (6000,12000,18000) = 6000

(1,05)²ⁿ - 3(1,05)ⁿ + 2 = 0

..note que temos potencias de bases iguais ..e uma equação do 2ª grau

assim vamos considerar:

(1,05)ⁿ = x  ...e, como é óbvio, (1,05)²ⁿ = x²

substituindo:

x² - 3x + 2 = 0

....pela fórmula resolvente encontramos as seguintes raízes (R):

R₁ = 1 ..e R₂ = 2

vamos calcular então o valor de "x"

=> Para R₁

x → (1,05)ⁿ = 1

aplicando propriedades dos logaritmos

n . Log 1,05 = Log 1

n . 0,021189 = 0

n = 0/0,021189

n = 0 <-- logo a raiz R₁ não serve como solução ..o prazo não pode ser ZERO

=> Para R₂

x → (1,05)ⁿ = 2

n . Log 1,05 = Log 2

n . 0,021189 = 0,30103

n = 0,30103/0,021189

n =  14,2067 ...ou em valor aproximado n = 14,2

..como a taxa está expressa em semestres ..então o resultado de "n" também é expresso em semestres, donde resulta

n = 14,2 semestres 

=> O Prazo para que as 2 aplicações produzam o mesmo valor de juros é de (aproximadamente) 14,2 semestres


Espero ter ajudado