Question

no estudo do movimento dos planetas em torno do sol, é fundamental o conhecimento da 3° lei de Kepler, que relaciona o raio médio de órbita R com o período de translação T. de acordo com esssa lei, para todos os planetas do sistema solar a razão R³/T² tem o mesmo valor. Considere o planeta Mercúrio e o planeta anão plutão. Admita que suas órbitas são circulares e que o raio da órbita de Plutão seja 100 vezes maior que a órbita de mercúrio (Rp= 100 Rm). Aplicando a 3° lei de Kepler, você devera estabelecer uma relação entre os períodos de translação de Mercúrio e de Platão. A equação que da a velocidade de translação dos planetas é:

Answer 1

Usando conceitos de mecânica celeste podemos encontrar a relação entre os períodos de mercúrio e plutão como

$\frac{T_m}{T_p}=10$

$\frac{T_p}{T_m}=\frac{1}{10}$

Explicação:

temo pela terceira lei de Kepler que

$\frac{R^3}{T^2}=K$

para qualquer planeta do sistema solar

portanto podemos igualar essas razoes para qualquer planeta

$\frac{R_p^3}{T_p^2}=\frac{R_m^3}{T_m^2}$

sabemos que

$R_p=100R_m$

portanto podemos substituir essa igualdade

$\frac{100R_m^3}{T_p^2}=\frac{R_m^3}{T_m^2}$

$\frac{100}{T_p^2}=T_m^2$

$\frac{T_m}{T_p}=\sqrt{100}$

$\frac{T_m}{T_p}=10$

podemos substituir o outro valor na mesma equação ou apenas inverter os valores para encontrar também

$\frac{T_p}{T_m}=\frac{1}{10}$