Question

No ensino fundamental, quando calculamos a raiz cúbica de -1, ou seja, raiz cúbica de -1, sempre respondemos -1, pois -1 x -1 x -1 = -1 Todavia, dentro do estudo dos números complexos, ao resolver a equação x3+1 = 0 encontramos valores bem diferentes. Qual sua explicação para esta situação. Exemplifique

Answer 1

1ª coisa:  Todo polinômio de grau maior ou igual que 3 pode ser fatorado como produtos de polinômios de grau 1 ou de grau 2 irredutíveis.


Logo, é possível fatorar o lado esquerdo de $\mathtt{x^3+1=0}.$
 

Nesse caso em especial, podemos usar um dos produtos notáveis:

Soma de dois cubos:

$\mathtt{p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)}$


Sendo assim, para $\mathtt{p=x}$ e $\mathtt{q=1,}$ temos que

$\mathtt{x^3+1^3=(x+1)(x^2-x\cdot 1+1^2)}\\\\ \mathtt{x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}$


E dessa forma, podemos reescrever a equação em questão:

$\mathtt{x^3+1=0}\\\\ \mathtt{(x+1)(x^2-x+1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathtt{x+1=0}&\texttt{ ou }&\mathtt{x^2-x+1=0} \end{array}$


Vamos resolver cada uma das equações acima separadamente, e fazer a união entre as soluções encontradas:

•    $\mathtt{x+1=0}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{x=-1}\end{array}}$


•    $\mathtt{x^2-x+1=0}\quad\Rightarrow\quad\left\{ \!\begin{array}{l} \mathtt{a=1}\\\mathtt{b=-1}\\ \mathtt{c=1} \end{array} \right.$


$\mathtt{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathtt{\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}\\\\ \mathtt{\Delta=1-4}\\\\ \mathtt{\Delta=-3}\\\\ \mathtt{\Delta=3\cdot (-1)}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{3\cdot (-1)}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{1\pm \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}}{2}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{1\pm \sqrt{3}\,i}{2}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i}$

$\boxed{\begin{array}{c}\begin{array}{rcl} \mathtt{x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i}&\texttt{ ou }&\mathtt{x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i} \end{array} \end{array}}$

_______

Considerando os números complexos, o conjunto solução para a equação dada é

$\mathtt{S=\left\{-1,\;\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i,\;\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i\right \}}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)