Question

No desenvolvimento de x (2X+1)^10 o coeficiente de x³ é

Answer 1

Olá!

Vamos escrever o termo geral da expansão binomial:

$\displaystyle \text{Para }(a+b)^n:\\\\ T_{k+1}={n\choose k} a^{n-k}b^k\\\\\\ \text{Logo, para }x(2x+1)^{10}:\\\\ T_{k+1}=x\cdot {10\choose k} (2x)^{10-k}\cdot(1)^k\\\\ T_{k+1}=x\cdot {10\choose k} 2^{10-k}x^{10-k}\cdot1\\\\ T_{k+1}={10\choose k} 2^{10-k}x^{11-k}$

Para encontrarmos o coeficiente de x³, basta igualarmos o expoente de x a 3:

$\displaystyle T_{k+1}={10\choose k} 2^{10-k}x^{11-k}\\\\\\ \text{Para }x^3: 11-k=3\Longrightarrow k=11-3\Longrightarrow k=8\\\\\\ T_{8+1}={10\choose 8} 2^{10-8}x^{11-8}\\\\ T_{9}={10\choose 8} 2^{2}\cdot x^{3}\\\\ T_{9}=\dfrac{10!}{8!\cdot2!} \cdot 2^{2}\cdot x^{3}\\\\ T_{9}=45\cdot 4\cdot x^{3}\\\\ \boxed{T_{9}=180x^{3}}$

Portanto, o coeficiente de x³ na expansão binomial será 180.

Answer 2

Resposta:

O COEFICIENTE DE X³ É  1.140

Explicação passo-a-passo: Para ( x+a) ^n, teremos que...

O binômio (x²+2x+1) ^10 equivale a [ (x+1)² ]^10 , certo???

Então, temos ( x+1 ) ^20 , pois multiplicamos os expoentes 10x2

Observando temos que  n=20 , x= x , a =1  

Agora, substituindo na   Fórmula geral de Newton

(  n  )  . x^p . a^n-p  = ( 20 ) . x^p . 1^20-p  = para achar coeficient

  p                                 p                                    x³,  x^p = x³    

Fórmula geral de Newton

( 20 ) . x³ . 1 ^ 17 =   ( 20 )X³  ,AGORA UMA COMBINAÇÃO !                

  3                            3    

C (20,3) = 20!/ 3! . (20-17) ! =  20.19.18.17! / 3.2.1. 17! = 1.1140

Resposta: 1140 x³