Question

No desenvolvimento de [tex](a^{3} -2)^{10}, encontre o termo que contém a^10.

Answer 1

Pelo Binómio de Newton, temos:

$(x+y)^n = \displaystyle\sum_{j = 0}^n {n \choose j} x^j y^{n-j}.$

No caso presente, $x = a^3$, $y = -2$ e $n = 10$, ou seja:

$(a^3-2)^{10} = \displaystyle\sum_{j = 0}^{10} {10 \choose j} (a^3)^j (-2)^{10-j} = \sum_{j = 0}^{10} {10 \choose j} a^{3j} (-2)^{10-j}.$

Assim, verificamos que o expoente de $a$ é um múltiplo de $3$, pois é da forma $3j$. Como $10$ não é múltiplo de $3$, concluímos então que coeficiente do termo em $a^{10}$ é nulo.

De facto, podemos calcular explicitamente o desenvolvimento utilizando a fórmula acima ou recorrendo ao Mathematica, como na imagem em anexo. Verifica-se que os expoentes de $a$ são todos múltiplos de $3$ e não há termo em $a^{10}$, tal como determinado acima.