Question

No desenvolvimento de $(2x+b)^{5}$, onde b é uma constante não nula, o coeficiente do termo em $x^{4}$ é 8 vezes o coeficiente do termo $x^{3}$. Determine b.

Answer 1

O termo geral deste produto é:

$T_n=\binom {5} {n} (2x)^{5-n}b^n$

Então o termo onde x tem expoente 4 é

$4=5-n$

$n=5-4$

$n=1$

Então calculamos o termo 1, assim:

$T_1=\binom {5} {1} (2x)^{5-1}b^1$

$T_1=\frac{5!}{1!(5-1)!} (2x)^{4}b$

$T_1=\frac{5.4!}{4!} 2^4x^{4}b$

$T_1=5.16x^{4}b$

$T_1=80b.x^{4}$

Logo, o coeficiente 1 é $80b$.

Então o termo onde x tem expoente 3 é

$3=5-n$

$n=5-3$

$n=2$

Então calculamos o termo 2, assim:

$T_2=\binom {5} {2} (2x)^{5-2}b^2$

$T_2=\frac{5!}{2!(5-2)!} (2x)^{3}b^2$

$T_2=\frac{5.4.3!}{2.3!} 2^3x^{3}b^2$

$T_2=\frac{5.4}{2} 8x^{3}b^2$

$T_2=\frac{5.2}{1} 8x^{3}b^2$

$T_2=10.8x^{3}b^2$

$T_2=80b^2.x^{3}$

Logo, o coeficiente 2 é $80b^2$.

Foi dado que o coeficiente do termo 1 é 8 vezes o coeficiente do termo 2. Então:

$80b=8.80b^2$

$\frac{80}{8.80}=\frac{b^2}{b}$

$\frac{1}{8.1}=\frac{b.b}{b}$

$\frac{1}{8}=\frac{b.1}{1}$

$\frac{1}{8}=b$

$b=\frac{1}{8}$

Portanto, o valor de $b$ nas condições dadas é $\frac{1}{8}$.

Answer 2

Resposta:

mas a fórmula do termo geral é Tn+1 n só Tn