Question

No desenho abaixo, ABCD é um retângulo e os pontos E e F pertencem à diagonal AC de modo que AE=EF=FC=2cm e AE^D=BF^C=90∘.

A área, em cm2, do retângulo ABCD é igual a:​

Answer 1

A área, em cm², do retângulo ABCD é igual a 12√2.

Existe uma relação métrica no triângulo retângulo que nos diz que a medida ao quadrado da altura do triângulo relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Isso quer dizer que:

DE² = AE.EC e BF² = CF.AF.

Como AE = EF = FC = 2 cm, então EC = 2 + 2 = 4 cm e AF = 2 + 2 = 4 cm. Logo:

DE² = 2.4

DE = 2√2 cm e BF = 2√2 cm.

Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AED:

AD² = DE² + AE²

AD² = (2√2)² + 2²

AD² = 8 + 4

AD² = 12

AD = 2√3 cm.

Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AFB:

AB² = AF² + BF²

AB² = 4² + (2√2)²

AB² = 16 + 8

AB² = 24

AB = 2√6 cm.

Portanto, a área do retângulo ABCD é:

S = 2√3.2√6

S = 4√18

S = 4.3√2

S = 12√2 cm².