Question

No décimo dia do mês de agosto, a tábua das marés indicou que a maré alta e a maré baixa, na praia do Chapéu Virado, na ilha do Mosqueiro, atingiram 3,5 metros e 0,7 metros de altura, respectivamente. Sabe-se também que a baixa-mar ocorreu ao meio-dia e à meia-noite, enquanto que preamar ocorreu às 06h e às 18h. Considerando que a altura da maré em função do tempo h(t) é dada por um modelo matemático do tipo h(t) = a + b.sen(c.t + d), com a,b,c e d, constantes reais, o número de vezes que a maré atingiu à altura de 2,8 metros, entre 03h e 19h é igual a

Answer 1

Podemos afirmar que o número de vezes que a maré atingiu à altura e 2,8 metros é de 3.

Vamos aos dados/resoluções:

É de conhecimento público que h(t) = a + b.sin(c.t + d) com h em metros e t em horas ao longo do dia , portanto:

h(0) = h(12) = 0,7 e h(6) = h(18) = 3,5 =  período igual 12 horas  ;

Logo, c = 2.pi/T = 2.pi/12 = pi/6

Como h(0) = 0,7 metros é o valor minimo de h(t) e hmin(t) = a - b (pois a função sen(θ) tem valor minimo igual a -1), então:

hmin(t) = h(0) = 0,7 --> a - b = 0,7 (*)  ;

sen(θ) = -1 --> θ = -pi/2 --> c.0 + d = -pi/2 --> d = -pi/2 ;

Como é sabido, h(6) = 3,5 metros é o valor máximo de h(t) e hmax(t) = a + b (pois a função sen(θ) tem valor máximo igual a 1), então:

hmax(t) = h(6) = 3,5 --> a + b = 3,5 (**)

De (*) e (**) tem-se que a = (0,7 + 3,5)/2 = 2,1 e b = 3,5 - a = 1,4.

Portanto, h(t) = 2,1 + 1,4.sin((pi/6)t - pi/2).

Para h(t) = 2,8 metros, tem-se:

2,1 + 1,4.sin((pi/6)t - pi/2) = 2,8 --> sin((pi/6)t - pi/2) = 1/2

--> (pi/6)t - pi/2 = pi/6 + 2.k.pi ou (pi/6)t - pi/2 = 5.pi/6 + 2.k.pi

--> t = 12k + 4 ou t = 12k + 8  (k∈ℤ)

Para 3 < t < 19:

3 < 12k + 4 < 19 --> -1/12 < k < 5/4 --> k = 0 ou k = 1 (t = 4 ou t = 16)

3 < 12k + 8 < 19 --> -5/12 < k < 11/12 --> k = 0 (t = 8)

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)