Question

No cubo de base ABCD, anteriormente representado, marca-se o ponto P, centro da face e EFGH. A medida em graus do ângulo PBD é um valor entre?

a) 0 e 30
b) 30 e 45
c) 45 e 60
d)60 e 90
e) 90 e 120

PRECISO DA RESOLUÇÃO, POR FAVOR!

Answer 1

Seja "β" o ângulo PBD e "α" o ângulo PBG. 
β = 90° - α 

Chamando L a aresta do cubo, temos: 
EG² = 2L² 
EG = L√2 
PG = L√2/2 

PB² = PG² + L² 
PB² = L²/2 + L² 
PB² = 3L²/2 
PB = L√3/√2 

sen α = PG/PB = (L√2/2) / (L√3/√2) 
sen α = 1/√3 = √3/3 

sen 30° = 1/2 = 0,50 
sen α = √3/3 ≈ 0,57 
sen 45°= √2/2 ≈ 0,71 

Portanto: 
30° < α < 45° 

Multiplicando por -1: 
-30° > -α > -45° 

Somando 90° 
90° - 30° > 90° - α > 90° - 45° 
60° > 90° - α > 45° 
45° < 90° - α < 60° 

Mas 90° - α = β = PBD. Portanto: 
45° < Ângulo PBD < 60° 


Resposta 

A medida, em graus, do ângulo PBD é um valor entre 45 e 60. 
Letra c)