Matemática, perguntado por leocoiler, 1 ano atrás

No cubo da figura a seguir, fez-se um corte pelo plano que passa pelos vértices A, C e N, retirando-se o sólido (ABCN) assim obtido.
Sabendo-se que o cubo tem aresta 8 cm, qual o volume do sólido restante?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Desenhos \ fora \ de \ escala \ e \ tamb\acute{e}m \ \acute{e} \ preciso \ um \ pouco \ de \ f\acute{e} \ no\\ anexo \ tr\hat{e}s

Antes\ de\ tudo\ abra\ o\ anexo \ (1)\ .\\\\ Temos\ que\ a\ aresta\ do\ cubo\ mede\ 8\ cm\ e\ que\ \overline{AB}\ ,\ \overline{BN}\ ,\ \overline{BC} \\ s\tilde{a}o\ arestas\ respectivamente\ do\ cubo\ e\ da\ pir\hat{a}mide\ .\\\\ Os\ demais\ lados\ desse\ pir\hat{a}mide\ s\tilde{a}o\ \overline{AN}\ ,\ \overline{NC}\ e\ \overline{AC}\ que\ s\tilde{a}o\\ nessa\ figura\ as\ diagonais\ dos\ quadrados\ que\ comp\tilde{o}em\ as\\ faces\ desses\ cubo\ .\ Se\ \overline{AB}\ =\ \overline{BN}\ =\ 8\ ,\ ent\tilde{a}o

\overline{AN}\ =\ \overline{AB}\ .\ \sqrt{2}\\\\ \overline{AN}\ =\ 8\ .\ \sqrt{2}\\\\ Como \ temos \ que \ as \ diagonais \ s\tilde{a}o \ todas \ iguais \ podemos \\ calcular \ direto \ as \ demais \ diagonais \ , \\\\ \overline{AN}\ =\ \overline{NC}\ =\ \overline{AC}\ =\ 8\sqrt{2}


Analisando \ a \ face \ ACN \ temos \ que \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{a}tero \\ formado \ pelas \ segmento \ \overline{AN}\ ,\ \overline{NC}\ e\ \overline{AC}\ e\ que \ medem \ 8\sqrt{2} \\ cm \ cada \ segmento \ . \\\\
Olhar \ anexo \ (2) \\\\
Na \ geometria \ temos \ uma \ propriedade \ que \ diz \ que \ o \ baricentro \\ de \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{e}tero \ divide \ a \ altura \ em \ dois \ segmentos \\ que \ correspondem \ a \  \frac{1}{3} \ e \ \frac{2}{3} \ da \ mesma \ .

Assim \ temos \ que \ o \ segmento \ k \ , \\\\
k \ = \  \frac{2}{3} \ . \ h \\\\
A \ altura \ de \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{a}tero \ pode \ ser \ estimada \\ por \ h \ = \  l \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ , \ sendo \ l \ = \ 8\sqrt{2}\\\\
k \ = \  \frac{2}{3} \ . \  \frac{ \sqrt{3} }{2} \ . \  8\sqrt{2} \\\\
k = 8 \ . \ \frac{ \sqrt{6} }{3} \ cm

Olhar \ anexo \ (3) \ , \\\\
Fazendo \ pit\acute{a}goras \ no \ tri\hat{a}ngulo \ BTC \ , \\\\

\overline{BC}^2 \ = \ \overline{TC}^2 \ + \ \overline{BT}^2 \\\\
Como \ \ \overline{TC} \ = \ k \ \ e \ \ \overline{BC} \ = 8 \ , \ temos \ que \ : \\\\
8^2 \ = \  \Big(8 \ . \ \frac{\sqrt{6} }{3}\Big)^2 \ + \ \overline{BT}^2 \\\\
\overline{BT} \ = \  \frac{8}{ \sqrt{3} } \ cm

O \ segmento \ \overline{BT} \ corresponde \ a \ altura \ da \ pir\hat{a}mide \ correspondente \\ a \ face \ ACN \ . \ Agora \ para \ calcularmos \ o \ volume \ recorreremos \\ a \ f\acute{o}rmula \ , \\\\
V = \  \frac{1}{3} \ . \ h \ . \ Ab \\\\
Como \ h \ = \ k \ e \ Ab \ corresponde \ a \ \acute{a}rea \ do \ tri\hat{a}ngulo \ ACN \ que \\ por \ sua \ vez \ \acute{e} \ equil\acute{a}tero \ , \ ent\tilde{a}o \ : \\\\
V = \  \frac{1}{3} \ . \  k \ . \ l^2 \ . \  \frac{ \sqrt{3}  }{4} \\\\

V \ = \  \frac{1}{3} \ . \  \frac{8}{ \sqrt{3}  } \ . \ (8 \sqrt{2} )^2 \ . \  \frac{ \sqrt{3}  }{4} \\\\
V = \  \frac{1}{3} \ . \ 2 \ . \ 128 \\\\
V = \  \frac{256}{3} \ cm^3

O \ volume \ restante \ (V_R) \ pode \ ser \ obtido \ pela \ diferen\c{c}a \ entre \ o \\ volume \ do \ cubo \ (V_C) \ e \ da \ pir\hat{a}mide (V) \ , \\\\
V_R \ = \ V_C \ - \ V \\\\
V_R \ = \ 8^3 \ -  \frac{256}{3} \\\\
V_R \ = \  \frac{1280}{3} \ cm^3

Anexos:

Usuário anônimo: Acho que é isso , tem gabarito ?!
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