Question

No contexto de investimento e formação de capital, se M(t) representa o montante de capital de uma empresa, existente em cada instante t, e I(t) representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então:
∫ab I (t) dt fornece o montante acumulado no período a ≤ t ≤ b.
Considerando que a função I(t) = t. ln t definida para t ≥ 1, representa a taxa de investimento líquido em milhares de reais de uma empresa de cosméticos, e fazendo ln 3 ≅ 1,1 , calcule o valor do montante acumulado no período 1 ≤ t ≤ 3.
Sugestão: faça u = ln t e dv = t, e integre por partes.

Answer 1

Sendo $i(t)$ a função que fornece a taxa de investimento líquido por um período de tempo, o montante acumulado no período $a\leq t \leq b$ é dado por

$\int_{a}^{b}{i(t)\,dt}$


Para esta questão, temos que

$i(t)=t\mathrm{\,\ell n\,}t$

e o período de investimento é $1 \leq t \leq 3.$


Substituindo na integral, temos que o montante acumulado para este período é

$\int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}$


Vamos resolver a integral acima por partes:

$\begin{array}{ll} u=\mathrm{\ell n\,}t\;\;&\;\;du=\dfrac{dt}{t}\\ \\ dv=t\,dt\;\;&\;\;v=\dfrac{t^{2}}{2} \end{array}$


Substituindo na fórmula de integração por partes, temos

$\int_{t=a}^{t=b}{u\,dv}=\left. uv \right]_{t=a}^{t=b}-\int_{t=a}^{t=b}{v\,du}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[(\mathrm{\ell n\,}t)\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{3}-\int_{1}^{3}{\dfrac{t^{2}}{2}\cdot \dfrac{dt}{t}}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[(\mathrm{\ell n\,}t)\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{3}-\dfrac{1}{2}\int_{1}^{3}{t\,dt}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[(\mathrm{\ell n\,}t)\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{3}-\dfrac{1}{2}\cdot \left[\dfrac{t^{2}}{2} \right ]_{1}^{3}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[(\mathrm{\ell n\,}t)\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{3}-\dfrac{1}{4}\cdot \left[t^{2} \right ]_{1}^{3}$


$\int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[(\mathrm{\ell n\,}t)\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{3}-\dfrac{1}{4}\cdot \left[t^{2} \right ]_{1}^{3}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[\left((\mathrm{\ell n\,}3)\cdot \dfrac{3^{2}}{2} \right )-\left((\mathrm{\ell n\,}1)\cdot \dfrac{1^{2}}{2} \right ) \right]-\dfrac{1}{4}\cdot \left[(3^{2})-(1^{2}) \right ]\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\left[\dfrac{9}{2}\cdot \mathrm{\ell n\,}3 -\left(0\cdot \dfrac{1}{2} \right ) \right]-\dfrac{1}{4}\cdot \left[9-1 \right ]\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\dfrac{9}{2}\cdot \mathrm{\ell n\,}3-\dfrac{8}{4}\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}=\dfrac{9}{2}\cdot \mathrm{\ell n\,}3-2\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}\cong \dfrac{9}{2}\cdot 1,1-2\\ \\ \\ \int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}\cong 2,95\text{ (milhares de reais)}$


$\int_{1}^{3}{t\mathrm{\,\ell n\,}t\,dt}\cong \text{R\ \,}2\,950,00$


O montante acumulado no período $1 \leq t \leq 3,$ é de, aproximadamente, $\text{R\ \,}2\,950,00.$