Matemática, perguntado por liz395, 9 meses atrás

No conjunto R (reais), a equação abaixo, tem: 




apenas uma raiz negativa.

duas raízes negativas.

apenas uma raiz positiva.

duas raízes positivas.

uma raiz igual a zero

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
2

Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{c)~Apenas~uma~raiz~positiva}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta equação irracional, devemos relembrar algumas propriedades.

Para retirarmos a raiz, devemos elevar ambos os lados ao quadrado. Ao resolver a equação quadrática podemos ou não encontrar duas soluções, porém devemos testá-las na raiz original antes de montar o conjunto-solução.

Temos a seguinte equação irracional

\sqrt{6-x}=x

Eleve ambos os lados ao quadrado, lembre-se que o radicando sai em módulo

|6-x|=x^2

Isto significa que existem dois casos, nos quais a expressão 6-x é positiva e x<6 ou a expressão 6-x é negativa e x>6.

Separando os dois casos, ficamos com

\begin{cases}6-x=x^2~~(I)\\ 6-x=-x^2~~(II)\\\end{cases}

Resolvendo o caso (I), ficamos com

6-x=x^2\\\\\\ x^2+x-6=0

Aplique a fórmula de Bháskara

A fórmula consiste em substituirmos os coeficientes da equação completa ax^2+bx+c=0 em x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}.

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}

Calculando as potências e multiplicando e somando os valores, temos

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}

Sabendo que 25=5^2, simplifique a raiz

x=\dfrac{-1\pm5}{2}

Separe as raízes

x_1=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2~~~~~~x_2=\dfrac{-1-5}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3

Resolvamos a outra equação (II). Temos que

-x^2+x-6=0

Aplique a fórmula de Bháskara

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)}}{2\cdot(-1)}

Multiplicando, calculando as potências e somando os valores, vemos que

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-23}}{-2}

Logo, podemos desconsiderar ambas as soluções, pois o enunciado nos garante que as soluções devem pertencer ao conjunto dos reais.

Por fim, testando as duas raízes que encontramos antes na equação original, temos

\sqrt{6-2}=2~~~~~\sqrt{6-(-3)}=-3\\\\\\\ \sqrt{4}=2~~~~~~~~~~~\sqrt{9}=-3\\\\\\\ 2=2~~\checkmark~~~~~~~~~3\neq -3

Portanto, a equação irracional apresenta somente uma raiz positiva.

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