Question

No conjunto dos números inteiros de 1 até 2017, quantos são os números: (a) que são múltiplos de 18 e de 24 ao mesmo tempo? (b) que são múltiplos de 18 ou que são múltiplos de 24?

Answer 1

Veja que $\texttt{mmc}(18,24)=72$. Logo, para que um número seja múltiplo de $18$ e $24$ ao mesmo tempo, ele deve ser múltiplo de $72$.

$18, 24 \ | \ 2$
$9, 12 \ \ | \ 2$
$9, 6 \ \ \ | \ 2$
$9, 3 \ \ \ | \ 3$
$3, 1 \ \ \ | \ 3$
$1, 1 \ \ \ / \texttt{mmc}(18,24)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=72$

Veja que $2017=72\cdot28+1$. Logo, o maior número de $72$ menor que $2017$ é$2016$.

E portanto, entre $1$ e $2017$ há $28$ múltiplos de $18$ e $24$ ao mesmo tempo.

b) $2017=18\cdot112+1$

$2017=24\cdot84+1$

Logo, há $112$ múltiplos de $18$ e $84$ múltiplos de $24$ de $1$ até $2017$.

$\texttt{N}(\texttt{A}\cup\texttt{B})=\texttt{N}(\texttt{A})+\texttt{N}(\texttt{B})-\texttt{N}(\texttt{A}\cap\texttt{B})$

Ou seja, a quantidade de múltiplos de $18$ ou $24$ é igual a soma das quantidades de múltiplos de $18$ com a quantidade de múltiplos de $24$ menos a quantidade de múltiplos de $72$ (que são múltiplos de $18$ e $24$ ao mesmo tempo).

Logo, a resposta é $112+84-28=168$.