Question

No conjunto de números reais a equação exponencial 2^x+2 + 8x= 4^x+1 possui

Answer 1

Resposta:

$x=1$

Explicação passo a passo:

$2^{x+2} +8^{x} =4^{x+1}$

Expandir:

$2^{x} .2^{2} +(2^{3} )^{x} =(2^{2}) ^{x} .2^{2}$

Reescrever a equação com $2^{x} =u$

$u.2^{2} +u^{3} =u^{2} .2^{2}$

Subtrair $u^{2} .2^{2}$ de ambos os lados:

$u.2^{2} +u^{3}-u^{2}.2^{2} =u^{2} .2^{2}-u^{2} .2^{2}$

Simplificar:

$4u+u^{3} -4u^{2} =0$

Fatorar $4u+u^{3} -4u^{2}$ como $u(u-2)^{2}$

$u(u-2)^{2}=0$

Utilizar o princípio do fator zero: Se ab = 0 então a = 0 ou b = 0:

a = u

b = u - 2

u = 0

u - 2 = 0

u = 2

Reescrever a equação com $u=2^{x}$

$2^{x} =0$

x∉R

$2^{x} =2$

$2^{x} =2^{1}$

$x=1$

Answer 2

Tal equação tem apenas 1 raiz que é x = 1.

$\dotfill$

A raiz de uma equação de uma incógnita é o valor que esta assume para que a identidade se torne verdadeira. Para encontrar a raiz, no entanto, existem diferentes técnicas a depender do tipo da equação (1º grau, 2º grau, exponencial, ...)

Para a equação proposta na tarefa, podemos fazer a substituição 2ˣ = y. Veja:

2^(x+2) + 8ˣ = 4^(x+1)

2ˣ . 2²  + (2ˣ)³ = (2ˣ)² . 2²

4y + y³ = y² . 4

y³ - 4y² + 4y  = 0

y . ( y² - 4y + 4) = 0

Como o produto entre y e ( y² - 4y + 4) é zero, um dos fatores é zero. Logo y = 0 ou y² - 4y + 4 = 0 ⇒ (y - 2)² = 0  ⇒ y = 2. Assim,

• 2ˣ = 0 ⇒ x não é real

• 2ˣ = 2 ⇒ x = 1

Logo, tal equação tem apenas 1 raiz, que é x = 1.

$\dotfill$

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