Question

No circuito RLC, o capacitor é carregado com carga q0 (zero) e colocado no instante t = 0 neste circuito. Calcule q0(t) do capacitor.
Atribua q0 = 1C, C = 1F, L = 1H, R = 10​

Answer 1

A carga no capacitor terá equação de q(t) = e^{-5t}cos(t\sqrt{26}).

Por se tratar de um circuito em série simples RLC, podemos atribuir a ele a seguinte equação diferencial:

$L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C}=0$

E, se aplicarmos Laplace podemos resolver rapidamente, resultando na seguinte equação no domínio do tempo:

$q(t) = \dfrac{C}{R}e^{-\frac{tR}{2L}}[Asen(t\sqrt{\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R^2}{4L^2}}) + Bcos(t\sqrt{\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R^2}{4L^2}})]$

Substituindo agora os valores de R, L e C fornecidos no enunciado da questão, teremos:

$q(t) = \dfrac{1}{10}e^{-\frac{10t}{2}}[Asen(t\sqrt{\dfrac{1}{1*1}+\dfrac{10^2}{4*1^2}}) + Bcos(t\sqrt{\dfrac{1}{1*1}+\dfrac{10^2}{4*1^2}})]\\\\q(t) = \frac{1}{10}e^{-5t} [Asen(t\sqrt{26}) + Bcos(t\sqrt{26})]$

Também nos foi dito no enunciado, que, para t = 0, q(0) = 1 C. Logo, vamos ter:

$q(0) = 1\\\\\frac{1}{10}e^{-5*0} [Asen(0*\sqrt{26}) + Bcos(0*\sqrt{26})] = 1\\\\\frac{1}{10} *e^{0}[Asen(0) + Bcos(0)] = 1\\\\1*(A*0 + B*1) = 1*10 = 10\\\\B = 10$

Como podemos considerar somente a parte real da equação de q(t), é comum descartarmos a parte do seno da equação, de modo que ficaremos apenas com:

$q(t) = \frac{1}{10}e^{-5t} 10cos(t\sqrt{26}) = e^{-5t}cos(t\sqrt{26} )$

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