Question

No circuito RC sem fonte mostrado na figura 4, temos:

a) Determine os valores de R e C.
b) Determine o tempo necessário para a tensão cair para a metade de seu valor
inicial em t = 0.

Sendo A = 82
B = 395

Answer 1

Vamos começar determinando as condições iniciais do circuito, ou seja, vamos calcular a tensão v(t=0s), tensão inicial no capacitor C e a corrente i(t=0s) que percorre o circuito.

$\sf v(t)~=~A\cdot e^{-300 t}\\\\v(0)~=~82\cdot e^{-300\cdot 0}\\\\v(0)~=~82\cdot e^0\\\\v(0)~=~82\cdot 1\\\\\boxed{\sf v(0)~=~82~V}$

$\sf i(t)~=~B\cdot e^{-300 t}\\\\i(0)~=~395\cdot e^{-300\cdot 0}\\\\i(0)~=~395\cdot e^0\\\\i(0)~=~395\cdot 1\\\\\boxed{\sf i(0)~=~395~mA}$

a)

Note que o resistor R está submetido a mesma tensão v(t) do capacitor e, para qualquer instante, o resistor obedecerá a 1ª Lei de Ohm, ou seja, a relação entre tensão e corrente se mantém constante, logo:

$\sf R~=~\dfrac{v(0)}{i(0)}\\\\\\R~=~\dfrac{82}{395\cdot 10^{-3}}\\\\\\\boxed{\sf R~=~\dfrac{82}{395}~k\Omega}~~ou~~ \boxed{\sf R~\approx~208~\Omega}$

Para calcularmos a capacitância, devemos lembrar de como é "montada" a expressão de v(t) no capacitor em descarregamento, caso apresentado no exercício.

Obs.: Caso não conheça a "origem" dessa expressão, deixo uma breve explicação no rodapé dessa resolução.

$\sf\boxed{\sf v(t)~=~V(0)\cdot e^{-t/\tau}}~~~onde:~\tau=R\cdot C$

Comparando o modelo acima à expressão de v(t) dada no exercício, podemos afirmar que:

$\boxed{\sf \dfrac{1}{\tau}~=~300}$

Substituindo o valor encontrado para a resistência, temos:

$\sf \dfrac{1}{\dfrac{82}{395}\cdot 10^3\cdot C}~=~300\\\\\\\dfrac{1}{C}~=~300\cdot \dfrac{82}{395}\cdot 10^3\\\\\\\dfrac{1}{C}~=~\dfrac{4920}{79}\cdot 10^3\\\\\\\boxed{\sf C~=~\dfrac{79}{4\,920\,000}~F}~~ou~~\boxed{\sf C~\approx~16~\mu F}$

b)

Vamos montar a equação:

$\boxed{\sf v(t)~=~ \dfrac{v(0)}{2}}$

Substituindo v(t) e v(0) na equação acima por suas correspondências:

$\sf 82\cdot e^{-300t}~=~\dfrac{82}{2}\\\\\\e^{-300t}~=~\dfrac{82}{2\cdot 82}\\\\\\e^{-300t}~=~\dfrac{1}{2}\\\\\\ln\left(e^{-300t}\right)~=~ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\-300t~=~ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\t~=\,-\dfrac{1}{300}\cdot ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\\boxed{\sf t~=~\dfrac{1}{300}\cdot ln\left(2\right)~s}~~ ou~~ \boxed{\sf t~\approx~2,3~ms}$

Extra: Determinando v(t) a partir do circuito apresentado no exercício.

$\sf A~corrente~i(t)~que~''sai''~do~capacitor~\acute{e}~a~mesma~que~passa~pelo~resistor.\\\\\\i_c(t)~=~i_r(t)\\\\\\Lembrando~das~convenc\tilde{o}es~para~os~elementos~pacivos,~temos:\\\\\\-C\cdot \dfrac{dv(t)}{dt}~=~\dfrac{v(t)}{R}\\\\\\\dfrac{dv(t)}{dt}~=~\dfrac{v(t)}{-R\cdot C}\\\\\\\dfrac{dv(t)}{v(t)}~=\,-\dfrac{1}{RC}\cdot dt\\\\\\\displaystyle \int\limits_{v(0)}^{v(t)}\dfrac{dv(t)}{v(t)}~=~\displaystyle \int\limits_{0}^{t}-\dfrac{1}{RC}dt$

$\sf ln(v(t))-ln(v(0))~=\,-\dfrac{1}{RC}\cdot (t-0)\\\\\\\sf ln\left(\dfrac{v(t)}{v(0)}\right)~=\,-\dfrac{1}{RC}\cdot t\\\\\\e^{ln\left(\dfrac{v(t)}{v(0)}\right)}~=~e^{-t/RC}\\\\\\\dfrac{v(t)}{v(0)}~=~e^{-t/RC}\\\\\\\boxed{\sf v(t)~=~v(0)\cdot e^{-t/RC}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

Explicação:

FF jchxjchzgcjckfhftzdjccuxtfuvvjxfhccgzdychuvvhxgxgxuchc