Question

No circuito mostrado, R = 500ohms, L = 0,64H, u = 1uF, I = −1 A. A queda da tensão inicial no capacitor 40$V$ e a corrente inicial no indutor é 0,5$V$. Determine:

Answer 1

a)

A corrente no elemento de circuito não muda imediatamente. Então:

$i_R(0^+) = i_R(0^-) = \dfrac{V_R(0^-)}{R} = \dfrac{V_C(0^-)}{R}$

Pois como o capacitor e o resistor estão em paralelo, as suas tensões são iguais. Dado que a tensão inicial no capacitor é 40 V:

$i_R(0^+) = \dfrac{40}{500}$

$\boxed{i_R(0^+) = 80 \cdot \text{ mA}}$

b)

Se aplicarmos a Lei de Kirchoff para as correntes no nó superior:

$i_L + i_C + i_R = 0$

Então:

$i_C(0^{+}) = -0.08 - 0.5$

$i_C(0^{+}) = -0.58$

$\boxed{i_C(0^{+}) = -580 \text{ mA}}$

c)

Aqui, podemos utilizar a expressão:

$V_L(t) = L \cdot \dfrac{di_L(t)}{dt}$

Ou seja:

$\dfrac{di_L(t)}{dt} = \dfrac{V_L(t)}{L}$

Sabendo que a tensão inicial no capacitor é a mesma do indutor:

$\boxed{\dfrac{di_L(0^+)}{dt} =62.5 \text{ A/s}}$

d)

Precisamos encontrar as raízes da seguinte expressão:

$s^2 + \dfrac{1}{R \cdot C} \cdot s + \dfrac{1}{L \cdot C}$

(Não entrarei em detalhes, a explicação detalhada está no arquivo que coloquei em anexo).

As raízes são dadas por:

$s_{1,2} = -\dfrac{1}{2 \cdot R \cdot C} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2 \cdot R \cdot C}\right)^2 - \dfrac{1}{L \cdot C}}$

Substituindo os valores:

$s_{1,2} = -\dfrac{1}{2 \cdot 500 \cdot 10^{-6}} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2 \cdot 500 \cdot 10^{-6}}\right)^2 - \dfrac{1}{0.64 \cdot 10^{-6}}}$

$s_{1,2} = -1000 \pm \sqrt{10^6 - 1.5625 \cdot 10^6}$

$s_{1,2} = -1000 \pm \sqrt{-562500}$

$s_{1,2} = -1000 \pm i \cdot 750$

$\boxed{s_1 = -1000 + i \cdot 750}$

$\boxed{s_2 = -1000 - i \cdot 750}$

e)

Sabendo que as raízes são complexas conjugadas, a resposta será da forma:

$i_L(t) = I_s + (i_L(0) - I_s) \cdot e^{a \cdot t} \cdot cos(b \cdot t) -\dfrac{1}{b} \cdot \left[(i_L(0) - I_s) \cdot a - i_L'(0) \right] \cdot e^{a \cdot t} \cdot sen(b \cdot t)$

Aqui:

$a = Re(r) = -1000$

$b = Im(r) = 750$

Certo, substituindo os valores, a resposta nesse caso será:

$i_L(t) = -1 + (0.5 + 1) \cdot e^{-1000 \cdot t} \cdot cos(750 \cdot t) -\dfrac{1}{750} \cdot \left[(0.5+1) \cdot (-1000) - 62.5 \right] \cdot e^{-1000 \cdot t} \cdot sen(750 \cdot t)$

$i_L(t) = -1 + 1.5 \cdot e^{-1000 \cdot t} \cdot cos(750 \cdot t) -\dfrac{1}{750} \cdot \left[-1500 - 62.5 \right] \cdot e^{-1000 \cdot t} \cdot sen(750 \cdot t)$

$\boxed{i_L(t) = -1 + (1.5 \cdot cos(750 \cdot t) + 2.08334 \cdot sen(750 \cdot t)) \cdot e^{-1000 \cdot t}\text{ , }t > 0\text{ s}}$

f)

Aqui, podemos utilizar a propriedade:

$v(t) = V_L(t) = L \cdot \dfrac{di_L(t)}{dt}$

Teremos de derivar a expressão acima:

$v(t) = 0.64 \cdot \dfrac{d}{dt}\left[-1 + (1.5 \cdot cos(750 \cdot t) + 2.08334 \cdot sen(750 \cdot t)) \cdot e^{-1000 \cdot t}\right]$

$v(t) = 0.64 \cdot \left(-1000 \cdot 1.5 \cdot cos(750 \cdot t) -1.5 \cdot 750 \cdot sen(750 \cdot t)$

$-1000 \cdot 2.08334 \cdot sen(750 \cdot t) + 2.08334 \cdot cos(750 \cdot t)) \cdot e^{-1000 \cdot t}\right)$

$v(t) = 0.64 \cdot (62.5 \cdot cos(750 \cdot t) - 3208.3334 \cdot sen(750 \cdot t)) \cdot e^{-1000 \cdot t}$

$\boxed{v(t) = (40 \cdot cos(750 \cdot t) - 2053.3334 \cdot sen(750 \cdot t)) \cdot e^{-1000 \cdot t}}$

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