Question

No circuito a seguir, determinar:
a) A resistência equivalente total;
b) A potência total fornecida pela fonte;
c) A potência dissipada no resistor R5.

Answer 1

Fazer análise de circuitos é relativamente fácil, principalmente quando estamos em corrente continua, porém pode ser um tanto quanto trabalhoso pela quantidade de continhas, como é o caso aqui.

Para fazer isso teremos que relembrar algumas equações, como de associação em série e paralelo, assim como a lei de Ohm e potência.

Série

                                            $\Large\displaystyle R_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^{n}R_i$

Paralelo

                                           $\Large\text{ \displaystyle\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum\limits_{i = 1}^{n}\dfrac{1}{R_i} }$

Primeira Lei de Ohm

                                               $\Large\displaystyle V = R\cdot i$

Potência (equação usual)

                                               $\Large\displaystyle P = V\cdot i$

Com essas quatro equações podemos resolver todo o exercício, então vamos descobrir a resistência equivalente.

Note que R5 e R6 estão em série, então podemos somar eles e simplificar o circuito:

                                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}R' &= R_5 + R_6\\ \\ R' &= 30 +70 \\ \\R' &= 100 \Omega\end{aligned}$

Agora esse resistor está em paralelo com o R4, quando temos apenas dois resistores em paralelo podemos simplificar para:

                                          $\Large\displaystyle R_{eq} = \dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+ R_2}$

Então utilizando essa equação:

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}R'' &= \dfrac{R_4\cdot R'}{R_4+ R'}\\ \\R'' &= \dfrac{300\cdot 100}{300+ 100} \\ \\ R'' &= \dfrac{30000}{400} \\ \\ R'' &= \dfrac{300}{4} \\ \\ R'' &= 75\Omega \\ \\ \end{aligned}$

E R'' está em série com R3, então associando eles

Obs: usarei a notação $\largeR^{\left(n\right)}$ para indicar os futuros resistores associados.

                                        $\Large\begin{aligned}R^{(3)} &= R'' + R_3 \\ \\ R^{(3)} &= 75 + 125 \\ \\ R^{(3)} &= 200\Omega\end{aligned}$

E novamente, ele está em paralelo com R2, logo

                                         $\Large\text{ \displaystyle\begin{aligned}R^{(4)} &= \dfrac{R^{(3)}\cdot R_2}{R^{(3)}+ R_2}\\ \\ R^{(4)} &= \dfrac{200\cdot 300}{200+ 300}\\ \\ R^{(4)} &= \dfrac{60000}{500}\\ \\ R^{(4)} &= \dfrac{600}{5}\\ \\ R^{(4)} &= 120\Omega\end{aligned} }$

Agora sim chegamos na equivalente, que será obtida após a associação em série com R1

                                          $\Large\displaystyle\begin{aligned}R_{eq} &= R_1 + R^{(4)}\\ \\ R_{eq} &= 80 + 120 \\ \\R_{eq} &= 200\Omega\end{aligned}$

Com isso podemos a potência total, com a equação:

                                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}P &= \dfrac{V}{R}^2 \\ \\ P &= \dfrac{40^2}{200} \\ \\ P &= 8\text{W}\\ \\ \end{aligned}$

Poderiamos descobrir a corrrente também para então descobrir a potência na equação usual, por curiosidade a corrente é

                                             $\Large\text{ \displaystyle\begin{aligned}V &= R_{eq} \cdot i \\ \\i& = \dfrac{V}{R_{eq}}\\ \\ i& = \dfrac{40}{200}\\ \\ i& = \dfrac{4}{20}\\ \\ i& = \dfrac{1}{5}\text{ A}\\ \\ \end{aligned } }$

Para calcular a potência dissipada no R5, primeiro iremos calcular a queda de tensão neste resistor, para isso temos que calcular as malhas, irei calcular todas! para ficar registrado e entender o método, então vamos descobrir todas as correntes em cada resistor.

$\Large\text{ \displaystyle \begin{aligned}&\text{Malha I}\\ \\&i = i_1 = \dfrac{1}{5} \text{ A}\\ \\&\boxed{i_1 = \dfrac{1}{5}\text{ A}}\\ \\&V_1 = 80 \cdot \dfrac{1}{5}\\ \\&\boxed{V_1 = 16 \text{ V}}\\ \\&V_2 = E - V_1\\ \\&V_2 = 40 - 16\\ \\&\boxed{V_2 = 24 \text{ V}}\\ \\&i_2 = \dfrac{V_2}{R_2}\\ \\ &i_2 = \dfrac{24}{300}\\ \\ &\boxed{i_2 = 80\text{ mA}}\\ \\\end{aligned} }$___________________________________________________

$\Large\text{ \displaystyle \begin{aligned}&\text{Malha II}\\ \\&i_3 = i_1 - i_2\\ \\&i_3 = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{25}\\ \\&\boxed{i_3 = \dfrac{3}{25}\text{ A}} \\ \\&V_3 = R_3 \cdot i_3 \\ \\&V_3 = \dfrac{125\cdot 3}{25} \\ \\&\boxed{V_3 = 15 \text{ V}}\\ \\&V_4 = E - V_1 - V_3\\ \\&\boxed{V_4 = 9 \text{ V}}\\ \\&i_4 = \dfrac{V_4}{R_4}\\ \\ &\boxed{i_4 = 30\text{ mA}}\end{aligned} }$___________________________________________________

$\Large\text{ \displaystyle \begin{aligned}&\text{Malha III}\\ \\&i_5 = i_3 - i_4\\ \\&i_5 = \dfrac{3}{25} - \dfrac{3}{100}\\ \\&\boxed{i_5 = 90\text{ mA}} \\ \\&V_5 = R_5 \cdot i_5 \\ \\&V_5 = \dfrac{30\cdot 9}{100} \\ \\&\boxed{V_3 = 2{,}7 \text{ V}}\\ \\&V_6 = E - V_1 - V_3 - V_5\\ \\&\boxed{V_6 = 6{,}3 \text{ V}}\\ \\&i_6 = \dfrac{V_6}{R_6}\\ \\ &\boxed{i_6 = 90\text{ mA}}\end{aligned} }$

Agora temos todos os dados do Circuito, a potência no resistor R5 é

                                        $\Large\displaystyle \begin{aligned}P_5 &= V_5 \cdot i_5\\ \\P_5 &= 2{,}7 \cdot 0{,}09\\ \\P_5 &= 0{,}243\\ \\P_5 &= 243\text{ mW}\\ \\\end{aligned}$    

Espero ter ajudado

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