Question

No campeonato de futebol de uma pequena cidade, todos
os clubes jogam contra seus adversários exatamente
duas vezes. Nesse campeonato, houve exatamente 4 dias
por semana com jogos, durante 17 semanas. Em cada um
desses dias ocorriam 4 jogos.
Quantos clubes ficavam sem jogar em cada dia de jogo?
(A) 17
(B) 16
(C) 10
(D) 9
(E) 8

Answer 1

 Vamos começar pela parte mais fácil, que é descobrir o total de jogos deste campeonato.Cada dia de jogo possui 4 jogos, há 4 jogos por semana, durante 17 semanas. Quantos jogos ao todo?É só efetuar a multiplicação.Total = Jogos por dia * Dias por semana * SemanasTotal = 4 * 4 * 17Total = 272 jogosAté aqui, sem problemas?Agora, vamos raciocinar um pouco. O exercício afirma que cada time enfrenta seus adversários duas vezes, ou seja, na linguagem do futebol, é um campeonato de “turno e returno”.Quantas rodadas existem em um campeonato como este?E, antes de tudo, vocês sabem o que é “rodada”?Pode parecer trivial, mas, para quem não acompanha futebol, não é tão trivial assim.Uma “rodada” é quando todos os times jogaram e, por isto, não é igual aos “dias que têm jogo”. Vamos pegar o Campeonato Brasileiro como parâmetro, uma rodada possui jogos de sábado e domingo ou de quarta e quinta. Em ambos os casos, são dois dias de jogos para completar uma única rodada.Por isto, no nosso exercício, temos 68 dias de jogos (4 dias por semana durante 17 semanas), mas isto não significa que temos 68 rodadas, pois são coisas diferentes.A lógica é o seguinte: vamos supor que um campeonato tenha x times. Neste caso, se cada time enfrentar um adversário uma vez, teremos (x – 1) rodadas. Para quem não entendeu, pense que cada time enfrentará todos os outros, com exceção dele mesmo, por isto é o total de times menos uma unidade.No caso de haver dois turnos, como o campeonato deste exercício, o total de rodadas será 2 * (x – 1).Vamos ver um exemplo numérico para provar que a expressão acima está correta. Vamos supor um campeonato com apenas 4 times; se houver apenas um turno, teremos 3 rodadas, pois um time enfrentará outros três adversários; se houver dois turnos, teremos 6 rodadas, pois um time enfrentará outros três adversários duas vezes.Para um exemplo mais concreto e com mais times, vamos pegar novamente o Campeonato Brasileiro. Temos 20 times ao todo: Atlético Mineiro, Atlético Paranaense, Bahia, Botafogo, Chapecoense, Corinthians, Coritiba (o time não é Curitiba), Criciúma, Cruzeiro, Figueirense, Flamengo, Fluminense, Goiás, Grêmio, Internacional, Palmeiras, Santos, São Paulo, Sport e Vitória. Um turno terá 19 rodadas, pois um time enfrentará 19 adversários; os dois turnos terão 38 rodadas, pois um time enfrentará 19 adversários duas vezes.Assim, um campeonato com 20 times:2 * (x – 1) = 2 * (20 – 1) = 2 * 19 = 38 rodadasPodem checar em qualquer mídia esportiva. Procurem a tabela do Brasileirão e verão que o campeonato possui 38 rodadas.Acho que consegui provar que a expressão está correta, então:Total de rodadas = 2 * (x – 1)              (I)Onde:x = número de times do campeonatoLembrando que a expressão acima é válida para um campeonato de dois turnos.Conseguimos descobrir uma expressão que indica o número de rodadas, mas quantos jogos há em uma rodada?Esta parte é mais simples, pois um time enfrenta outro time, isto é, um jogo possui duas equipes jogando. Isto significa que o número de jogos em uma rodada equivale à metade do número de times.Para comprovar, vamos fazer analogia novamente com o Campeonato Brasileiro. Este campeonato possui 20 times, então uma rodada terá 10 jogos, pois em cada jogo há dois times se enfrentando. Se quiserem checar, olhem novamente a tabela do campeonato e verifiquem que uma rodada possui 10 jogos.Portanto:Jogos por rodada = x/2                 (II)Onde:x = número de times do campeonatoConseguimos duas expressões: uma para o total de rodadas (I) e outro para o total de jogos por rodada (II). Se multiplicarmos ambas, teremos o total de jogos de um campeonato.Total de jogos = Total de rodadas * Jogos por rodadaTotal de jogos = 2 * (x – 1) * x/2O total de jogos do campeonato já foi calculado no início do exercício e é igual a 272 jogos.2 * (x – 1) * x/2 = 272x2 – x – 272 = 0Esta equação é de segundo grau. Vou colocar apenas o resultado, pois o espaço que eu tenho aqui não permite escrever raízes e outras operações matemáticas. No entanto, se ficarem com dúvidas nesta parte, podem me procurar.Como é uma equação de segundo grau, temos duas respostas.x = 17 times ou x = – 16 timesObviamente, temos que ficar com a resposta positiva, então o total de times deste campeonato é igual a 17.Cuidado para não caírem na pegadinha do examinador. Ele não quer o total de times, ele quer o número de times que não jogam em um dia de jogo.Como o examinador é bem esperto, colocou a resposta 17 logo na letra A para “pegar” os mais distraídos.Após tantas explicações, talvez vocês não se lembrem, mas o enunciado afirmou que há 4 jogos por dia de jogo. Isto significa que 8 times jogam, pois cada jogo possui duas equipes se enfrentando. Se o campeonato possui 17 times e 8 jogam, então 9 ficam sem jogar. A resposta é letra D. Gabarito: D«