Question

No cálculo de limites, algumas funções permitem apresentar o valor do limite de forma direta. Damos a isso o nome de limites fundamentais. Estes limites, na maior parte das vezes, estão ligados a elementos trigonométricos, exponenciais ou logarítmicos. Baseado nestes limites fundamentais, determine o limite da função a seguir, quando x tende ao infinito.

f(x) = (1 + 1/5x)^x

Answer 1

Pelo enunciado, temos a seguinte questão:

$\lim_{x \to \infty } \left(1 + \frac{1}{5x} \right) {}^{x}$

Podemos associar esse limite ao seguinte limite fundamental dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \lim_{x \to \infty } \left(1 + \frac{1}{x} \right) {}^{x} = e$

Estamos quase nesse formato, para que as estruturas sejam iguais, vamos dizer que:

$\frac{1}{5x} = \frac{1}{y} \: \: \to \: \: y = 5x$

Substituindo essa informação no limite, temos:

$\lim_{x \to \infty } \left(1 + \frac{1}{5x} \right)^{x} \: \: \to \: \:\lim_{x \to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{x}$

Como x tende para o infinito, então:

$y = 5. \infty \: \to \: y = \infty$

A nova variável também tenderá a infinito. Outra coisa que devemos fazer é a substituição da incógnita "x" do expoente, por y, a nova variável:

$\text{se} \: \: y = 5x \: \to \: x = \frac{y}{5} \\ \\ \lim_{y \to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right) ^{ \frac{y}{5} } \: \to \: \lim_{y\to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right) ^{ \frac{1}{5}y }$

Agora vamos aplicar uma regra de potência para dar uma pequena ajeitada nesse expoente:

$\: \: \: \: \: (a {}^{x} ) ^{y} = a {}^{x.y} , \: \: \text{logo} : \\ \\ \lim_{y \to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right) ^{ \frac{1}{5} y} \: \to \: \: \left[\lim_{y \to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right) ^{ y} \right]^{ \frac{1}{5} }$

Observe que entre os colchetes temos justamente o limite fundamental, então:

$\left[\lim_{y \to \infty } \left(1 + \frac{1}{y} \right) ^{ y} \right]^{ \frac{1}{5} } \: \to \: \: \left[e \right]^{ \frac{1}{5} }$

Portanto temos que a resposta é:

$\boxed{ \lim_{x \to \infty } \left(1 + \frac{1}{5x} \right) {}^{x} = e {}^{ \frac{1}{5} } }$

Espero ter ajudado