Física, perguntado por rodrigues011, 5 meses atrás

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a integral definida a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:

A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Baldério

Resolução da questão, veja bem:

A integral definida da questão resulta em 76 / 3, alternativa A do nosso problema.

Resolver a integral:

$\sf{\displaystyle\int_1^3(2x^2+2x)\;dx}$

Para resolvermos essa integral, usaremos a seguinte regra de integração:

$\sf{\large\boxed{\boxed{\boxed{\blue{\displaystyle\int\;[\sf{x^n}]\;dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k~;~\forall \;n\;\ne-1~e~k\;\in\;\mathbb{R}}}}}}$

Para facilitar nosso cálculos, vamos inicialmente calcular a integral indefinida, depois aplicamos o TFC e encontramos a integral definida:

$\sf{\displaystyle\int(2x^2+2x)\;dx}\\ \\ \\ \sf{I=2\cdot \displaystyle\int (x^2)\;dx+2\cdot \displaystyle\int (x)\;dx}\\ \\ \\ \sf{I=2\cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}}\\ \\ \\ \sf{I=2\cdot \dfrac{x^3}{3}+\diagup\!\!\!\!2\cdot \dfrac{x^2}{\diagup\!\!\!\!2}}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{I=\dfrac{2}{3}\cdot x^3+x^2+k}}}}}$

Descobrimos então a resolução da integral indefinida. Para encontrarmos a integral definida nos limites dados, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo - (TFC), o qual é expresso por:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a)}}}}$

Sabendo disso, teremos que a integral definida da questão resultará em:

$\sf{I=\left(\dfrac{2}{3}\cdot x^3+x^2\right)\Bigg|_1^3}\\ \\ \\ \sf{I=\left[\left(\dfrac{2}{3}\cdot 3^3+3^2\right)-\left(\dfrac{2}{3}\cdot 1^3+1^2\right)\right]}\\ \\ \\ \sf{I=\left[\left(\dfrac{2}{3}\cdot 27+9\right)-\left(\dfrac{5}{3}\right)\right]}\\ \\ \\ \sf{I=\left[\left(18+9\right)-\left(\dfrac{5}{3}\right)\right]}\\ \\ \\ \sf{I=\left[\left(27\right)-\left(\dfrac{5}{3}\right)\right]}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{I=\dfrac{76}{3}}}}}}~\checkmark~$