Question

No BRAINLY uma questão é observada em média por 4 usuários antes de obter uma resposta!

Qual é a probabilidade de uma pergunta ser observada por 4 ou mais usuários antes de obter uma resposta?

Answer 1

Para resolver esta tarefa, deve-se utilizar a distribuição Poisson, com parâmetro

$\mathsf{\lambda = 4}$

(número médio de usuários que observam uma tarefa antes de receber resposta)


sendo X a variável aleatória que representa o número de usuários que observam uma pergunta, antes de esta obter resposta:


A probabilidade de exatamente $\mathsf{k}$ usuários que observam uma pergunta, antes de esta obter resposta é dada por

$\mathsf{P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^{k}}{k!}}\\\\\\ \mathsf{P(X=k)=\dfrac{e^{-4}\cdot 4^{k}}{k!}\qquad\quad(i)}$

_________


Esta questão pede a probabilidade de uma pergunta ser observada por pelo menos 4 usuários antes de receber resposta, isto é

$\mathsf{P(X\ge 4)}\\\\ \mathsf{=1-P(X<4)}\\\\ \mathsf{=1-\big[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\big]}\\\\ \mathsf{=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)}\\\\ \mathsf{=1-\dfrac{e^{-4}\cdot 4^0}{0!}-\dfrac{e^{-4}\cdot 4^1}{1!}-\dfrac{e^{-4}\cdot 4^2}{2!}-\dfrac{e^{-4}\cdot 4^3}{3!}}$

$\mathsf{=1-e^{-4}\cdot \left(\dfrac{4^0}{0!}+\dfrac{4^1}{1!}+\dfrac{4^2}{2!}+\dfrac{4^3}{3!}\right )}\\\\\\ \mathsf{=1-e^{-4}\cdot \left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{4}{1}+\dfrac{16}{2}+\dfrac{64}{6}\right )}\\\\\\ \mathsf{=1-e^{-4}\cdot \left(\dfrac{6}{6}+\dfrac{24}{6}+\dfrac{48}{6}+\dfrac{64}{6}\right )}$

$\mathsf{=1-e^{-4}\cdot \left(\dfrac{6+24+48+64}{6}\right )}\\\\\\ \mathsf{=1-e^{-4}\cdot \left(\dfrac{142}{6}\right )}\\\\\\ \mathsf{=1-\dfrac{71e^{-4}}{3}}\\\\\\ \mathsf{\approx 1-\dfrac{71 \cdot 0,\!018316}{3}}\\\\\\ \mathsf{\approx 1-0,\!433470}\\\\ \mathsf{=0,\!566530}\\\\ \mathsf{\approx 56,\!7\%\qquad\quad\checkmark}$


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Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags: probabilidade distribuição poisson estatística

Answer 2

Distribuição de Poisson:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

• $\sf x~\Rightarrow~$ número de sucessos

• $\sf \lambda~\Rightarrow~$ o número médio de sucessos em um intervalo

=> Para x = 0:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=0)=\dfrac{4^{0}\cdot e^{-4}}{0!}$

=> Para x = 1:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=1)=\dfrac{4^{1}\cdot e^{-4}}{1!}$

=> Para x = 2:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=2)=\dfrac{4^{2}\cdot e^{-4}}{2!}$

=> Para x = 3:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=3)=\dfrac{4^{3}\cdot e^{-4}}{3!}$

A probabilidade procurada é:

$\sf P=1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=2)-P(x=3)$

$\sf P=1-\dfrac{4^{0}\cdot e^{-4}}{0!}-\dfrac{4^{1}\cdot e^{-4}}{1!}-\dfrac{4^{2}\cdot e^{-4}}{2!}-\dfrac{4^{3}\cdot e^{-4}}{3!}$

$\sf P=1-\dfrac{1\cdot e^{-4}}{1}-\dfrac{4\cdot e^{-4}}{1}-\dfrac{16\cdot e^{-4}}{2}-\dfrac{64\cdot e^{-4}}{6}$

$\sf P=1-e^{-4}-4\cdot e^{-4}-8\cdot e^{-4}-\dfrac{32\cdot e^{-4}}{3}$

$\sf P=1-e^{-4}\cdot\Big(1+4+8+\dfrac{32}{3}\Big)$

$\sf P=1-e^{-4}\cdot\Big(13+\dfrac{32}{3}\Big)$

$\sf P=1-e^{-4}\cdot\Big(\dfrac{39+32}{3}\Big)$

$\sf P=1-e^{-4}\cdot\dfrac{71}{3}$

$\sf P=1-0,01832\cdot\dfrac{71}{3}$

$\sf P=1-0,43357$

$\sf P=0,5664$

$\sf \red{P=56,64\%}$